2008江苏高考数学科考试说明
命题指导思想
2008年普通高等学校招生全国统一考试数学科(江苏卷)命题将遵循教育部考试中心颁发的《2008年普通高等学校招生全国统一考试(数学科)大纲》精神,依据教育部《普通高中数学课程标准(实验)》和江苏省《普通高中课程标准教学要求》,既考查中学数学的基础知识和方法,又考查考生进入高等学校继续学习所必须的基本能力。
1.突出数学基础知识、基本技能、基本思想方法的考查
对数学基础知识和基本技能的考查,贴近教学实际,既注意全面,又突出重点,注重知识内在联系的考查,注重对中学数学中所蕴涵的数学思想方法的考查。
2.重视数学基本能力和综合能力的考查
数学基本能力主要包括空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理这几方面的能力。
(1)空间想象能力是对空间图形的观察、分析、抽象的能力。考查要求是:能够根据题设条件想象并作出正确的平面直观图形,能够根据平面直观图形想象出空间图形;能够正确地分析出图形中基本元素及其相互关系,并能够对空间图形进行分解和组合。
(2)抽象概括能力的考查要求是:能够通过对实例的探究发现研究对象的本质;能够从给定的信息材料中概括出一些结论,并用于解决问题或作出新的判断。
(3)推理论证能力的考查要求是:能够根据已知的事实和已经获得的正确的数学命题,运用归纳、类比和演绎进行推理,论证某一数学命题的真假性。
(4)运算求解能力是思维能力和运算技能的结合,主要包括数的计算、估算和近似计算,式子的组合变形与分解变形,几何图形中各几何量的计算求解,以及能够针对问题探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等。
(5)数据处理能力是指会收集、整理、分析数据,能够从大量数据中提取对研究问题有用的信息并作出判断。考查要求是:能够运用基本的统计方法对数据进行整理、分析,以解决给定的实际问题。
数学综合能力的考查,主要体现为分析问题与解决问题能力的考查,要求能够综合地运用有关的知识与方法,解决较为困难的或综合性的问题。
3.注重数学的应用意识和创新意识的考查
数学的应用意识的考查,要求能够运用所学的数学知识、思想和方法,构造数学模型,将一些简单的实际问题转化为数学问题,并加以解决。
创新意识的考查,要求能够综合,灵活运用所学的数学知识和思想方法,创造性地解决问题。
二、考试内容及要求
数学试卷由必做题与附加题两部分组成。选修测试历史的考生仅需对试题中的必做题部分作答;选修测试物理的考生需对试题中必做题和附加题这两部分作答。必做题部分考查的内容是高中必修内容和选修系列1的内容;附加题部分考查的内容是选修系列2(不含选修系列1)中的内容以及选修系列4中专题4-1《几何证明选讲》、4-2《矩阵与变换》、4-4《坐标系与参数方程》、4-5《不等式选讲》这4个专题的内容(考生只需选考其中两个专题)。
对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次(在下表中分别用A、B、C表示)。
了解:要求对所列知识的含义有最基本的认识,并能解决相关的简单问题。
理解:要求对所列知识有较深刻的认识,并能解决有一定综合性的问题。
掌握:要求系统地掌握知识的内在联系,并能解决综合性较强的或较为困难的问题。
具体考查要求如下:
1.必做题部分
内 容 |
要 求 |
A |
B |
C |
1.集合 |
集合及其表示 |
√ |
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子集 |
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√ |
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交集、并集、补集 |
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√ |
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2.函数概念与基本初等函数Ⅰ |
函数的有关概念 |
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√ |
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函数的基本性质 |
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√ |
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指数与对数 |
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√ |
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指数函数的图象和性质 |
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√ |
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对数函数的图象和性质 |
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√ |
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幂函数 |
√ |
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函数与方程 |
√ |
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函数模型及其应用 |
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√ |
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3.基本初等函数Ⅱ(三角函数)、三角恒等变换 |
三角函数的有关概念 |
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√ |
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同角三角函数的基本关系式 |
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√ |
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正弦、余弦的诱导公式 |
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√ |
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正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 |
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√ |
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函数 的图象和性质 |
√ |
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两角和(差)的正弦、余弦和正切 |
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√ |
二倍角的正弦、余弦和正切 |
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√ |
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几个三角恒等式 |
√ |
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4.解三角形 |
正弦定理、余弦定理及其应用 |
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√ |
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5.平面向量 |
平面向量的有关概念 |
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√ |
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平面向量的线性运算 |
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√ |
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平面向量的坐标表示 |
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√ |
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平面向量的的数量积 |
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√ |
平面向量的平行与垂直 |
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√ |
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平面向量的应用 |
√ |
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6.数列 |
数列的有关概念 |
√ |
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等差数列 |
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√ |
等比数列 |
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√ |
7.不等式 |
基本不等式 |
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√ |
一元二次不等式 |
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√ |
线性规划 |
√ |
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8.复数 |
复数的有关概念 |
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√ |
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复数的四则运算 |
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√ |
|
复数的几何意义 |
√ |
|
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9.导数及其应用 |
导数的概念 |
√ |
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导数的几何意义 |
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√ |
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导数的运算 |
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√ |
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利用导数研究函数的单调性和极大(小)值 |
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√ |
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导数在实际问题中的应用 |
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√ |
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10.算法初步 |
算法的有关概念 |
√ |
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流程图 |
√ |
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基本算法语句 |
√ |
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11.常用逻辑用语 |
命题的四种形式 |
√ |
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必要条件、充分条件、充分必要条件 |
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√ |
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简单的逻辑联结词 |
√ |
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全称量词与存在量词 |
√ |
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12.推理与证明 |
合情推理与演绎推理 |
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√ |
|
分析法和综合法 |
√ |
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|
反证法 |
√ |
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13.概率、统计 |
抽样方法 |
√ |
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总体分布的估计 |
√ |
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总体特征数的估计 |
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√ |
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变量的相关性 |
√ |
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随机事件与概率 |
√ |
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古典概型 |
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√ |
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几何概型 |
√ |
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互斥事件及其发生的概率 |
√ |
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统计案例 |
√ |
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14.空间几何体 |
柱、锥、台、球及其简单组成体 |
√ |
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三视图与直视图 |
√ |
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|
柱、锥、台、球的表面积和体积 |
√ |
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15.点、线、面之间的位置关系 |
平面及其基本性质 |
√ |
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直线与平面平行、垂直的判定与性质 |
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√ |
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两平面平行、垂直的判定与性质 |
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√ |
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16.平面解析几何初步 |
直线的斜率和倾斜角 |
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√ |
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直线方程 |
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√ |
直线的平行关系与垂直关系 |
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√ |
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两条直线的交点 |
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√ |
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两点间的距离、点到直线的距离 |
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√ |
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圆的标准方程和一般方程 |
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√ |
直线与圆、圆与圆的位置关系 |
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√ |
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空间直角坐标系 |
√ |
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17.圆锥曲线与方程 |
椭圆的标准方程和几何性质(中心在坐标原点) |
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√ |
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双曲线的标准方程和几何性质(中心在坐标原点) |
√ |
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抛物线的标准方程和几何性质(顶点在坐标原点) |
√ |
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2.附加题部分
内 容 |
要 求 |
A |
B |
C |
选修系列2
:不含选修系列1
中的内容 |
1.圆锥曲线与方程 |
曲线与方程 |
√ |
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抛物线的标准方程和几何性质(顶点在坐标原点) |
|
√ |
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2.空间向
量与立体几何 |
空间向量的有关概念 |
√ |
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空间向量共线、共面的充分必要条件 |
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√ |
|
空间向量的线性运算 |
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√ |
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空间向量的坐标表示 |
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√ |
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空间向量的数量积 |
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√ |
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空间向量的共线与垂直 |
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√ |
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直线的方向向量与平面的法向量 |
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√ |
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空间向量的应用 |
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√ |
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3.导数及其应用 |
简单的复合函数的导数 |
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√ |
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定积分 |
√ |
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4.推理与证明 |
数学归纳法的原理 |
√ |
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数学归纳法的简单应用 |
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√ |
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5.计数原理
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分类加法计数原理、
分步乘法计数原理 |
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√ |
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排列与组合 |
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√ |
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二项式定理 |
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√ |
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6.概率统计 |
离散型随机变量及其分布列 |
√ |
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超几何分布 |
√ |
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条件概率及相互独立事件 |
√ |
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次独立重复试验的模型及二项分布 |
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√ |
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离散型随机变量的均值和方差 |
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√ |
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7.几何证明选讲 |
相似三角形的判定和性质定理 |
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√ |
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直角三角形的射影定理 |
√ |
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圆的切线的判定和性质定理 |
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√ |
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圆周角定理,弦切角定理 |
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√ |
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相交弦不定期理、割线定理、切割线定理 |
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√ |
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圆内接四边形的判定与性质定理 |
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√ |
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8.矩阵与变换 |
矩阵的有关概念 |
√ |
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二阶矩阵与平面向量 |
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√ |
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常见的平面变换 |
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√ |
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矩阵的复合与矩阵的乘法 |
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√ |
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二阶逆矩阵 |
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√ |
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二阶矩阵的特征值和特征向量 |
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√ |
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二阶矩阵的简单应用 |
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√ |
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9.坐标系与参数方程 |
坐标系的有关概念 |
√ |
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简单图形的极坐标方程 |
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√ |
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极坐标方程与直角坐标方程的互化 |
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√ |
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直线、圆和椭圆的参数方程 |
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√ |
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参数方程与普通方程的互化 |
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√ |
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参数方程的简单应用 |
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√ |
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10.不等式选
讲 |
不等式的基本性质 |
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√ |
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含有绝对值的不等式的求解 |
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√ |
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不等式的证明(比较法、综合法、分析法) |
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√ |
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几个著名不等式 |
√ |
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利用不等式求最大(小)值 |
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√ |
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数学归纳法与不等式 |
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√ |
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三、考试形式及试卷结构
(一)考试形式
闭卷、笔试,试题分必做题和附加题两部分。必做题部分满分为160分,考试时间120分钟;附加题部分满分为40分,考试时间30分钟。
(二)考试题型
1.必做题 必做题部分由填空题和解答题两种题型组成。其中填空题14小题,约占70分;解答题6小题,约占90分。
2.附加题 附加题部分由解答题组成,共4小题。其中,必做题2小题,考查选修系列2(不含选修系列1)中的内容;选做题共4小题,依次考查选修系列4中4-1、4-2、4-4、4-5这4个专题的内容,考生只须从中选2个小题作答。
填空题只要求直接写出结果,不必写出计算和推理过程;解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(三)试题难易比例
必做题部分由容易题、中等题和难题组成。容易题、中等题和难题在试卷中的比例大致为4:4:2。
附加题部分由容易题、中等题和难题组成。容易题、中等题和难题在试卷中的比例大致为5:4:1。
四、典型题示例
A.必做题部分
(一)填空题
1.函数 的最小正周期是________________。
【解析】本题主要考查三角函数的周期。本题属容易题。
【答案】 。
2.已知 两点间距离是10。则实数 。
【解析】本题主要考查两点间距离公式。本题属容易题。
【答案】6或-6。
3.函数 的定义域是__________________。
【解析】本题主要考查函数的定义域和解一元二次不等式。本题属容易题。
【答案】
4.已知全集 ,则 等于__________。
【解析】本题主要考查集合的交、补等基础知识,本题属容易题。
【答案】
5.若复数 是纯虚数(i是虚线单位, 是实数),则 等于______。
【解析】本题主要考查复数的基本概念及其代数形式的运算。本题属容易题。
【答案】2。
6.在三角形 中,已知 是方程 的两个根,则 ______________(用数字作答)。
【解析】本题主要考查三角公式以及一元二次方程等基础知识,本题属中等题。
【答案】3
7.已知数列 的前 项和 ,第 项满足 ,则 。
【解析】本题主要考查数列的前 项的和与其通项的关系,以及解简单的不等式等基础知识。本题属中等题。
【答案】8。
8.已知向量 。若 与 垂直,则 等于______________。
【解析】本题主要考查以坐标表示的平面向量的加、减、数乘及数量积的运算等基础知识。本题属中等题。
【答案】2。
9.函数 的单调递增区间是________________________。
【解析】本题主要考查初等函数的求导、导数的四则运算以及利用导数研究函数的单调性等基础知识。本题属中等题。
【答案】 。
10.如果执行右面的程序框图,那么输出的 等于______。
【解析】本题主要考查流程图的顺序结构、选择结构和循环结构等基础知识,本题属中等题。
【答案】2550。
11.在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相同。现从中随机取出2个小球,则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是_______________。
【解析】本题主要考查古典概率计算以及概率的加法公式等基础知识。本题属中等题。
【答案】 。
12.在平面直角坐标系 中,已知 的顶点 和 ,顶点 在椭圆 上,则 。
【解析】本题主要考查椭圆的定义、正弦定理等基础知识。本题属中等题。
【答案】 。
(二)解答题
13.设锐角三角形 的内角 、 、 的对边分别为 。
(1)求 的大小;
(2)若 ,求 。
【解析】本题主要考查解三角形以及正、余弦定理的简单运用等基础知识。本题属容易题。
【参考答案】
(1)由 ,E根据正弦定理得 ,所以 ,由 为锐角三角形得 。
(2)根据余弦定理,得 ,所以 。
14.如图(1),在直四棱柱 中,已知 , ,
(1)求证: ;
(2)试在棱 上确定一点 ,使 平面 ,并说明理由。
【解析】本题主要考查立体几何中的主干知识,如线而平行、线面垂直等,考查空间想象能力、推理论证能力,本题属中等题。
【参考答案】
(1)证明:如图(2)连结 。
∵在直四棱柱 中, ,
∴四边形 是正方形, 。
又 ,
平面 。
平面 。
平面 ,且 ,
平面 ,
又 平面 。
(2)如图(3),连结 。设 ,
,连结 。
∵平面 平面 ,
要使 平面 ,只须使 ,
又 是 的中点, 是 的中点。
又易知 ,
,即 是 的中点。、
综上所述,当 是 的中点时,可使 平面 。
15.已知 是等差数列, 是公比为 的等比数列, , ,记 为数列 的前 项和。
(1)若 ( 是大于2的正整数),求证: ;
(2)若 ( 是某个正整数),求证: 是整数,且数列 中的每一项都是数列 中的项;
(3)是否存在这样的正数 ,使等比数列 中有三项成等差数列?若存在,写出一个 的值,并加以说明;若不存在,请说明理由。
【解析】本题主要考查等差、等比数列的有关知识,考查学生的探索与推理能力。本题属难题。
【参考答案】
(1)设等差数列的公差为 ,则由题设得
,且 。
用 得 ,所以 ,
。
故等式成立。
(2)(ⅰ)证明 为整数:
由 得 ,邓 ,多项得
。
因 ,得 ,故 为整数。
(ⅱ)证明数列 中的每一项都是数列 中的项;
设 是数列 中的任一项,只要讨论 的情形。
令 ,即 ,得
。
因为 ,当 时, 为-1,或0。
则 为1,或2;而 ,否则 ,矛盾。
当 时, 为正整数,所以 为正整数,从而 。
故数列 中的每一项都是数列 中的项。
(3)取 。
。
所以 成等差数列。
B.附加题部分
1.设 和 分别是从1,2,3,4这四个数中随机选取的数,用随机变量X表示方程 的实根的个数(重根按一个计)。
(1)求方程 有实根的概率;
(2)求随机变量X的分布列和数学期望;
(3)若 中至少有一个为0,求方程 有实根的概率。
【解析】本题主要考查概率的基本知识,如概率分布、数学期望、条件概率等。考查了分类讨论、枚举法等思想方法,本题属中等题。
【参考答案】
(1)由题意知:设所有基本事件的集合为Ω,记“方程 没有实根”为事件 ,“方程 有且只有一个实根”为事件B,“方程 有两个相异实根”为事件 ,则
,
,
,
。
所以Ω中的基本事件总数为16个, 中的基本事件总数为9个, 中的基本事件总数为2个, 中的基本事件总数为5个。
又因为 是互斥事件,故所求概率。
(2)由题意, 的可能值为0,1,2,则
。
故 的分布列为
的数学期望 。
(3)记“ 中至少有一个是3”为事件 ,“方程 有实根”为事件 ,则易知 ,从而 。
2.如图(1),正三棱柱 的底面边长为 ,侧棱长为 是 的中点。
(1)求证: 是平面 的一个法向量;
(2)求 与侧面 所成的角。
【解析】本题主要考查向量的坐标表示,向量运算及其几何意义等基础知识,本题属中等题。
【参考答案】
(1) 如图(2),以点 为坐标原点,平面 为 平面, 方向为 轴正方向,建立空间直角坐标系,则
,于是 。
易得 ,
所以 。
从而 平面ABB1A1
故 是平面 的一个法向量。
(2) ,
因为 ,
所以由 ,
,得
,即
又因为 平面 ,
所以 与侧面 所成的角为30°。
3.选修4-1:几何证明选讲
如图(1),已知 是⊙ 的切线, 为切点, 是⊙ 的割线,与⊙ 交于 两点,圆心 在 的内部,与 是 的中点。
(1)证明: 四点共圆;
(2)求 的大小.
【解析】本题主要考查圆的基本知识,如切线性质、四点共圆、垂径定理等,本题属容易题。
【参考答案】
(1)如图(2),连结 。
因为 与⊙ 相切于点 ,所以 。
因为 是⊙ 的弦 的中点,所以 。
于是 ,由圆由 在 的内部,可知四边形 的对角互补,所以 四点共圆。
(2)由(1)的结论可知, 。
又 ,由圆心 在 的内部,可知 。
所以 。
4.选修4-2:矩阵与变换
在直角坐标系中,已知 的顶点坐标为 ,求 在矩阵 作用下变换所得到的图形的面积,这里矩阵 。
【解析】本题主要考查矩阵的运算、矩阵与变换之间的关系等基础知识,本题属容易题。
【参考答案】
方法一:由题设得
由 。
可知 三点在矩阵 作用下变换所得到的点分别是 , ,计算得 的面积为1。
所以 在矩阵MN作用下变换所得到的图形 的面积为1.
方法二:在矩阵 作用下,一个图形变换为其绕原点逆时针旋转90°得到的图形;在矩阵 作用下,一个图形变换为与之关于直线 对称的图形。
因此, 在矩阵 作用下变换所得到的图形,与 全等,从而其面积等于 的面积,即为1。
5.选修4-4:坐标系与参数方程
已知⊙ 和⊙ 的极坐标方程分别为 。
(1)把⊙ 和⊙ 的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)求经过⊙ ,⊙ 交点的直线的直角坐标方程;
【解析】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化,以及解简单的二元二次方程组等基础知识。本题属容易题。
【参考答案】
以极点为原点,极轴为 轴上半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位。
(1) ,由 得 ,
所以 。
即⊙ 的直角坐标系方程为 。
同理⊙ 的直角坐标系方程为 。
(2)由
解得
即⊙ ,⊙ 交于点(0,0)和(2,-2)。过交点的直线的直角坐标方程为 。
6.选修4-5:不等式选讲
设实数 ,证明: 。
【解析】本题主要考查不等式的证明以及数学归纳法等基础知识,本题属容易题。
【参考答案】
(1)当 时,感到不等式显然成立。
(2)假设当 时,有 。
因为 ,所以 。
因此,有
,、
即当 时题中不等式成立。
综合(1)、(2)可知,对于任何 ,不等式 成立。 |