2008江苏高考数学科考试说明

命题指导思想

   2008年普通高等学校招生全国统一考试数学科(江苏卷)命题将遵循教育部考试中心颁发的《2008年普通高等学校招生全国统一考试（数学科）大纲》精神，依据教育部《普通高中数学课程标准（实验）》和江苏省《普通高中课程标准教学要求》，既考查中学数学的基础知识和方法，又考查考生进入高等学校继续学习所必须的基本能力。

   1．突出数学基础知识、基本技能、基本思想方法的考查

   对数学基础知识和基本技能的考查，贴近教学实际，既注意全面，又突出重点，注重知识内在联系的考查，注重对中学数学中所蕴涵的数学思想方法的考查。

   2．重视数学基本能力和综合能力的考查

数学基本能力主要包括空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理这几方面的能力。

（1）空间想象能力是对空间图形的观察、分析、抽象的能力。考查要求是：能够根据题设条件想象并作出正确的平面直观图形，能够根据平面直观图形想象出空间图形；能够正确地分析出图形中基本元素及其相互关系，并能够对空间图形进行分解和组合。

（2）抽象概括能力的考查要求是：能够通过对实例的探究发现研究对象的本质；能够从给定的信息材料中概括出一些结论，并用于解决问题或作出新的判断。

（3）推理论证能力的考查要求是：能够根据已知的事实和已经获得的正确的数学命题，运用归纳、类比和演绎进行推理，论证某一数学命题的真假性。

（4）运算求解能力是思维能力和运算技能的结合，主要包括数的计算、估算和近似计算，式子的组合变形与分解变形，几何图形中各几何量的计算求解，以及能够针对问题探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等。

（5）数据处理能力是指会收集、整理、分析数据，能够从大量数据中提取对研究问题有用的信息并作出判断。考查要求是：能够运用基本的统计方法对数据进行整理、分析，以解决给定的实际问题。

数学综合能力的考查，主要体现为分析问题与解决问题能力的考查，要求能够综合地运用有关的知识与方法，解决较为困难的或综合性的问题。

3．注重数学的应用意识和创新意识的考查

数学的应用意识的考查，要求能够运用所学的数学知识、思想和方法，构造数学模型，将一些简单的实际问题转化为数学问题，并加以解决。

创新意识的考查，要求能够综合，灵活运用所学的数学知识和思想方法，创造性地解决问题。

二、考试内容及要求

数学试卷由必做题与附加题两部分组成。选修测试历史的考生仅需对试题中的必做题部分作答；选修测试物理的考生需对试题中必做题和附加题这两部分作答。必做题部分考查的内容是高中必修内容和选修系列1的内容；附加题部分考查的内容是选修系列2（不含选修系列1）中的内容以及选修系列4中专题4-1《几何证明选讲》、4-2《矩阵与变换》、4-4《坐标系与参数方程》、4-5《不等式选讲》这4个专题的内容（考生只需选考其中两个专题）。

对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用A、B、C表示）。

了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题。

理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题。

掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题。

具体考查要求如下：

1．必做题部分

2．附加题部分

三、考试形式及试卷结构

（一）考试形式

闭卷、笔试，试题分必做题和附加题两部分。必做题部分满分为160分，考试时间120分钟；附加题部分满分为40分，考试时间30分钟。

（二）考试题型

1．必做题  必做题部分由填空题和解答题两种题型组成。其中填空题14小题，约占70分；解答题6小题，约占90分。

2．附加题  附加题部分由解答题组成，共4小题。其中，必做题2小题，考查选修系列2（不含选修系列1）中的内容；选做题共4小题，依次考查选修系列4中4-1、4-2、4-4、4-5这4个专题的内容，考生只须从中选2个小题作答。

填空题只要求直接写出结果，不必写出计算和推理过程；解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（三）试题难易比例

必做题部分由容易题、中等题和难题组成。容易题、中等题和难题在试卷中的比例大致为4：4：2。

附加题部分由容易题、中等题和难题组成。容易题、中等题和难题在试卷中的比例大致为5：4：1。

四、典型题示例

A．必做题部分

（一）填空题

1．函数 的最小正周期是________________。

【解析】本题主要考查三角函数的周期。本题属容易题。

【答案】 。

2．已知 两点间距离是10。则实数 。

【解析】本题主要考查两点间距离公式。本题属容易题。

【答案】6或－6。

3．函数 的定义域是__________________。

【解析】本题主要考查函数的定义域和解一元二次不等式。本题属容易题。

【答案】

4．已知全集 ，则 等于__________。

【解析】本题主要考查集合的交、补等基础知识，本题属容易题。

【答案】

5．若复数 是纯虚数（i是虚线单位， 是实数），则 等于______。

【解析】本题主要考查复数的基本概念及其代数形式的运算。本题属容易题。

【答案】2。

6．在三角形 中，已知 是方程 的两个根，则 ______________（用数字作答）。

【解析】本题主要考查三角公式以及一元二次方程等基础知识，本题属中等题。

【答案】3

7．已知数列 的前 项和 ，第 项满足 ，则 。

【解析】本题主要考查数列的前 项的和与其通项的关系，以及解简单的不等式等基础知识。本题属中等题。

【答案】8。

8．已知向量 。若 与 垂直，则 等于______________。

【解析】本题主要考查以坐标表示的平面向量的加、减、数乘及数量积的运算等基础知识。本题属中等题。

【答案】2。

9．函数 的单调递增区间是________________________。

【解析】本题主要考查初等函数的求导、导数的四则运算以及利用导数研究函数的单调性等基础知识。本题属中等题。

【答案】 。

10．如果执行右面的程序框图，那么输出的 等于______。

【解析】本题主要考查流程图的顺序结构、选择结构和循环结构等基础知识，本题属中等题。

【答案】2550。

11．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同。现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是_______________。

【解析】本题主要考查古典概率计算以及概率的加法公式等基础知识。本题属中等题。

【答案】 。

12．在平面直角坐标系 中，已知 的顶点 和 ，顶点 在椭圆 上，则 。

【解析】本题主要考查椭圆的定义、正弦定理等基础知识。本题属中等题。

【答案】 。

（二）解答题

13．设锐角三角形 的内角 、 、 的对边分别为 。

（1）求 的大小；

（2）若 ，求 。

【解析】本题主要考查解三角形以及正、余弦定理的简单运用等基础知识。本题属容易题。

【参考答案】

（1）由 ，E根据正弦定理得 ，所以 ，由 为锐角三角形得 。

（2）根据余弦定理，得 ，所以 。

14．如图（1），在直四棱柱 中，已知 ， ，

（1）求证： ；

（2）试在棱 上确定一点 ，使 平面 ，并说明理由。

【解析】本题主要考查立体几何中的主干知识，如线而平行、线面垂直等，考查空间想象能力、推理论证能力，本题属中等题。

【参考答案】

（1）证明：如图（2）连结 。

∵在直四棱柱 中， ，

∴四边形 是正方形， 。

又 ，

平面 。

平面 。

平面 ，且 ，

平面 ，

又 平面 。

（2）如图（3），连结 。设 ，

，连结 。

∵平面 平面 ，

要使 平面 ，只须使 ，

又 是  的中点， 是 的中点。

又易知 ，

，即 是 的中点。、

综上所述，当 是 的中点时，可使 平面 。

15．已知 是等差数列， 是公比为 的等比数列， ， ，记 为数列 的前 项和。

（1）若 （ 是大于2的正整数），求证： ；

（2）若 （ 是某个正整数），求证： 是整数，且数列 中的每一项都是数列 中的项；

（3）是否存在这样的正数 ，使等比数列 中有三项成等差数列？若存在，写出一个 的值，并加以说明；若不存在，请说明理由。

【解析】本题主要考查等差、等比数列的有关知识，考查学生的探索与推理能力。本题属难题。

【参考答案】

（1）设等差数列的公差为 ，则由题设得

，且 。

用 得 ，所以 ，

。

故等式成立。

（2）（ⅰ）证明 为整数：

由 得 ，邓 ，多项得

。

因 ，得 ，故 为整数。

（ⅱ）证明数列 中的每一项都是数列 中的项；

设 是数列 中的任一项，只要讨论 的情形。

令 ，即 ，得

。

因为 ，当 时， 为-1，或0。

则 为1，或2；而 ，否则 ，矛盾。

当 时， 为正整数，所以 为正整数，从而 。

故数列 中的每一项都是数列 中的项。

（3）取 。

     。

所以 成等差数列。

B．附加题部分

1．设 和 分别是从1，2，3，4这四个数中随机选取的数，用随机变量X表示方程 的实根的个数（重根按一个计）。

（1）求方程 有实根的概率；

（2）求随机变量X的分布列和数学期望；

（3）若 中至少有一个为0，求方程 有实根的概率。

【解析】本题主要考查概率的基本知识，如概率分布、数学期望、条件概率等。考查了分类讨论、枚举法等思想方法，本题属中等题。

【参考答案】

（1）由题意知：设所有基本事件的集合为Ω，记“方程 没有实根”为事件 ，“方程 有且只有一个实根”为事件B,“方程 有两个相异实根”为事件 ，则

，

，

，

。

所以Ω中的基本事件总数为16个， 中的基本事件总数为9个， 中的基本事件总数为2个， 中的基本事件总数为5个。

又因为 是互斥事件，故所求概率。

（2）由题意， 的可能值为0，1，2，则

。

故 的分布列为

的数学期望 。

（3）记“ 中至少有一个是3”为事件 ，“方程 有实根”为事件 ，则易知 ，从而 。

2．如图（1），正三棱柱 的底面边长为 ，侧棱长为 是 的中点。

（1）求证： 是平面 的一个法向量；

（2）求 与侧面 所成的角。

【解析】本题主要考查向量的坐标表示，向量运算及其几何意义等基础知识，本题属中等题。

【参考答案】

（1）       如图（2），以点 为坐标原点，平面 为 平面， 方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系，则

，于是 。

易得 ，

所以 。

从而 平面ABB₁A₁

故 是平面 的一个法向量。

（2） ，

因为 ，

所以由 ，

，得

，即

又因为 平面 ，

所以 与侧面 所成的角为30°。

3．选修4-1：几何证明选讲

如图（1），已知 是⊙ 的切线， 为切点， 是⊙ 的割线，与⊙ 交于 两点，圆心 在 的内部，与 是 的中点。

（1）证明： 四点共圆；

（2）求 的大小.

【解析】本题主要考查圆的基本知识，如切线性质、四点共圆、垂径定理等，本题属容易题。

【参考答案】

（1）如图（2），连结 。

因为 与⊙ 相切于点 ，所以 。

因为 是⊙ 的弦 的中点，所以 。

于是 ，由圆由 在 的内部，可知四边形 的对角互补，所以 四点共圆。

（2）由（1）的结论可知， 。

又 ，由圆心 在 的内部，可知 。

所以 。

4．选修4-2：矩阵与变换

在直角坐标系中，已知 的顶点坐标为 ，求 在矩阵 作用下变换所得到的图形的面积，这里矩阵 。

【解析】本题主要考查矩阵的运算、矩阵与变换之间的关系等基础知识，本题属容易题。

【参考答案】

方法一：由题设得

由 。

可知 三点在矩阵 作用下变换所得到的点分别是 ， ，计算得 的面积为1。

所以 在矩阵MN作用下变换所得到的图形 的面积为1.

方法二：在矩阵 作用下，一个图形变换为其绕原点逆时针旋转90°得到的图形；在矩阵 作用下，一个图形变换为与之关于直线 对称的图形。

因此， 在矩阵 作用下变换所得到的图形，与 全等，从而其面积等于 的面积，即为1。

5．选修4-4：坐标系与参数方程

已知⊙ 和⊙ 的极坐标方程分别为 。

（1）把⊙ 和⊙ 的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）求经过⊙ ，⊙ 交点的直线的直角坐标方程；

【解析】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及解简单的二元二次方程组等基础知识。本题属容易题。

【参考答案】

以极点为原点，极轴为 轴上半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位。

（1） ，由 得 ，

所以 。

即⊙ 的直角坐标系方程为 。

同理⊙ 的直角坐标系方程为 。

（2）由

解得

即⊙ ，⊙ 交于点（0，0）和（2，-2）。过交点的直线的直角坐标方程为 。

6．选修4-5：不等式选讲

设实数 ，证明： 。

【解析】本题主要考查不等式的证明以及数学归纳法等基础知识，本题属容易题。

【参考答案】

（1）当 时，感到不等式显然成立。

（2）假设当 时，有 。

因为 ，所以 。

因此，有

        ，、

即当 时题中不等式成立。

综合（1）、（2）可知，对于任何 ，不等式 成立。