稳步前进，构建具有中国特色、和谐有度的现代数学教育体系

------关于基础教育数学课程改革若干问题的思考

（中国科学院数学与系统科学研究院，李文林）

（本文是2007年4月7、8日研讨会报告，根据录音整理，经本人核对）

下午好，很荣幸能有机会来跟大家交流。感谢张英伯教授打电话邀请我参加这个研讨会。我本人在数学教育方面没有专门的研究，也缺乏在中小学从事数学教学的经验，讲不出什么专门的东西，只是根据我从1991年开始参与教育部中小学教材审查工作的实践，来谈谈对于课程改革的几点看法。

首先要说的是课程改革的目的，这个问题看起来比较大，比较虚，但我认为是很根本的。课程改革本身不是目的，目的是什么呢？我想概括地说应该是：建立符合培养现代化人才需要的、具有我国自己特色的课程体系和教材体系。两个方面缺一不可。我觉得明确目的确实很重要，我们不是为改革而改革，不是把与原来不一样的改掉就叫改革，那样就真会产生翻烧饼或是摇摆、反复，这是有历史教训的。这关系到要不要改、怎么改。要不要改就是要现代化的教育体系，原来一些旧的不符合时代需要的东西要改掉。另一方面还需要自己国家的特色。回顾清末和辛亥革命以后我们受英美西方的影响比较多（包括日本）。到了五十年代主要是学习苏联，我读大学时用的教材大都是前苏联的。苏联的教材有其优点，也有其问题，全盘苏化也不好。到了改革开放以后，我们又调过头来看西方，特别是美国。全盘西化和全盘苏化都走过弯路。我自己觉得现在应该是属于最好的时机，可以冷静思考，客观分析，哪些东西是适合我们国家的，哪些东西是不适合我们国家的，哪些好东西是我们国家本来就有的。在这一基础上才能真正自立于世界数学教育之林。我们不必有全盘西化或全盘苏化之类的压力。改革的目的我始终觉得应明确两条，一是培养现代化人才，一是有我们国家自己的特色。目的明确以后，把握事物的度就很重要，有时甚至很关键。所以我今天发言的重点是谈谈这方面的体会和看法。

第一是历史继承与现实改革。知识在不断更新，教材不能总一成不变，总得适应时代，跟上时代。举一个例子，比如概率统计，大纲教材中原先是没有概率统计的，上世纪90年代这个问题提出来了，要加概率统计。那个时候是丁尔陞先生和钟善基先生主持教材审查。记得有一次在青岛开审查会，顺便召集过一个座谈会，请一些中学教师来参加，讨论能不能加一点概率统计。当时是反对的居多。为什么呢？因为对概率统计不熟悉，教师培训也不象现在这样及时，总之没有条件，暂时搁置起来了。但是后来过了几年，并没有搞什么运动，概率统计慢慢的渗透进来了。到了课标教材概率统计已站得比较稳了。就是说不能因循守旧，一点新的东西都不能加。教师有他们的实际情况，应该多做调研，该加的要加。

另一方面对历史不能采取虚无主义，就是说要在继承历史的基础上前进。回顾近代中国历史，从1905年科举废除到2005年是整整一百年。一百多年来我们一直在改，每次改革或多或少都要留下一点东西。就拿最早的洋务运动说，洋务派办的同文馆后来变成京师大学堂后又变成北京大学。同文馆内设有天算馆。如果把同文馆看作大学的话，天算馆就是数学天文系。教授是谁呢？就是李善兰。同文馆培养的大都是贵族子弟，查不出来那里培养出了哪个数学家或是哪个有造诣的人才。但即便这样，也留下一点东西。李善兰当时翻译了一批西方的微积分和解析几何著作，还有代数学著作，作为当时的教科书。当然这些教科书起了多大作用很难说。但他在翻译的时候创造了一批名词。现代数学名词要追宗溯源的话我觉得要追溯到他：微分、积分、函数、渐近、极大、极小，…这些我们现在还在使用的数学名词，都是李善兰翻译的。我们不能因为他是洋务派的幕僚就把他创造的名词给否定了，另外再创造一套吧。

辛亥革命以后特别是1920和1930年代，是中国教育史上值得关注的时期。李仲来教授最近编了一套师大数学教育家的文集，其中有傅种孙先生的文集。傅先生的确是很重要的一位数学教育家，他做了好多事情，有好多想法值得总结。我们现在不是在搞几何代数三角合编吗？所谓混编教材，其实早在1920年代傅种孙编过一套教材，叫《混合数学》。我听一些老先生比如90高龄的田方增教授回忆，当时上中学用的就是这个教材。所以我们把代数几何打通也不是第一次，在傅先生的时代已经做过。傅先生的教材用了一段，他的混编想法后来没有推广开，这个事情就应该好好考察研究。

再说30年代，我觉得30年代的教育更应该去好好地总结研究，我把它叫做1930现象。当时本科教育建制基本完成。辛亥革命以后我们派人出去，请人进来。那时候多数人学完了都回来，回来干什么呢？回来在全国各地办大学，创建数学系。所以现在的大学数学系大都成立于20年代到30年代。到30年代本科建制可以说已基本完成，主要的大学都有数学系。30年代我们开始培养自己的研究生。清华大学1930年开始招收研究生，陈省身是第一个研究生。在1930年代我们已经开始建立一个人才培养的体制。我写了一本数学史教程，最后一章是讲中国近代数学的开拓，里面提到陈省身教授是我国培养的第一个数学研究生。我开始并没有太在意这句话，因为我觉得这是一个事实。后来陈先生有次在清华大学作报告，报告中提到“李文林最近写了本书，里面说我是中国自己培养的第一名数学研究生”。令我感动的是陈先生非常看重这一点，后来他从清华走向世界，但他认为自己最早的根基是在中国。

我要强调1930现象的另一重要方面，就是人才培养的“不拘一格”。这方面的例子就是华罗庚。华罗庚家喻户晓，是依靠自学成材的，只有一张初中文凭。但清华大学可以把他请去做一个助理员，后来要把他从助理员变成助教，争论很厉害。当时理学院院长说了一句话我觉得对今天很有启发，他说清华出了个华罗庚是好事情，不要被资格所限。当时清华教员起码要本科毕业，这样一争论后才破格提拔华罗庚为助教。然后还派他到英国去留学，从英国回来直接从助教提到教授，中间跳过了讲师和副教授，也经过了一番争论。所以华罗庚实际上是三次破格。我觉得当时清华算学系三位支持华罗庚的教授很了不得，他们是郑之藩，熊庆来和杨武之。三教授齐心协力，把清华建成为当时中国数学的一方乐土，很多人才能在这里生长。其实当时国内大学培养了一批数学人才，华罗庚、陈省身只是他们中的杰出代表。两人一个是科班出身，一个只有初中文凭，不同的道路，不同的背景，都能脱颖而出，并都成为世界级的数学大师。我觉得当时的教育是成功的。1930年代现象应该好好总结。我这讲的虽是大学，但它一定植根于基础教育，应该追溯到20年代中国的基础教育。

新中国成立后我们搞双基教育，也是有成就的，在文化革命前以及恢复高考以后很长一段时间，培养了一大批人才。双基教育也值得好好总结。这方面已有不少论述，这里就不多说。

第二是知识传授与能力培养。关于这二者的关系历史上长期存在争论。实际上二者应该是对立的统一。早在19世纪美国教育家杜威就主张：数学应该使学生既获得生活实用的知识，又发展他们的主动性，培养应付生活中实际问题的能力，提倡“从做中学”，试图把知识和能力统一建立在学生个人直接经验的基础上。杜威甚至提出“教育即生活，学校即社会”，把教育的重心从教科书和教师转移到儿童（也就是学生）。杜威作了很多试验，还在中国作过试验。杜威的理论是有道理的，实验也是有成效的，但后来做过了头，影响逐渐消退。就是说这个问题过去就有人提过，他们做的有成功也有失败，我们应该认真总结，避免走本来可以避免的弯路。

20世纪以来世界进入了一个新的时代，知识成指数增长。就数学而言一年发表好几万篇文章，这么庞大的知识量，使得知识传授与能力培养之间的矛盾更加突出，强调知识与能力的统一更显重要。我觉得知识是能力培养的载体，不学习知识是不可能发展能力的。反之，能力的发展又可使得学生的知识学习加快加深，并能灵活运用。单纯的知识传授和脱离知识传授的能力训练都不可能使学生获得全面的发展。成功的教学应该是使两者相互促进。好的教科书也应该是把这两者有机地结合起来，而不是使之割裂甚至对立，其中关键的一点是选择什么样的知识载体。

下一个问题是结果与过程。从古到今大凡成功的教育都是启发式的、过程性的教育，不会是单纯的知识灌输。我上中学是在江苏省常州高级中学，记得任课老师大都总是想方设法让你懂，想方设法启发你学习，有的至今仍令人记忆犹新。所以我们也不能将以往的教育都看成是灌输式教育一棍子打死。当然以往的教学确实存在偏重知识结果的传授，对（获得知识的）过程关注不够的现象，这正是需要我们在当前教改中大力改进的。在教学过程中提倡学生自主探究、增强学生的探索和交流活动，无疑十分必要。国外也比较注意这方面的改进，我国近几年在教材和教学活动中也有不少好的做法，值得肯定和进一步发扬。但在这过程中一定要防止模式化，防止形式化，以及防止超出中学生的认知能力。

模式化就是凡授知识必定要配过程。实际上把每一个知识产生过程都讲给学生是不可能的，并且也是不必要的。教育的基本功能之一，在我看来就是要把人类长期积累的知识有选择地传授给新的一代，使他们不必事事重复前人的发现过程，同时在此过程中培养、发展创造能力，以便今后能发现新的真理，或者说创造新的知识。因此在这里问题就在于选择什么样的案例来开展过程教学。好的、恰当的案例非常重要，它们应当是精心选择、能够作为载体展示发现过程的典型素材。在某种程度上可以说，案例选择是一套教材或一个教学过程能否成功的关键。我觉得这需要教学第一线的同志的积极探索、积累，创建丰富实用、切合数学实质的案例库。这方面教师不能单纯依赖教材，教材不能单纯依赖课标，教材编写者和教师都应该有自己广阔的空间。

形式化就是为活动而活动。活动是为了掌握知识，提高能力，但如果单纯把活动本身作为追求目标或考核指标，就会产生问题。我听过一些公开活动课，有的生动活跃，同时切中数学主题，令人赞赏。但无庸讳言，也有一部分活动课，虽然也是热热闹闹，但学生却落不下什么。比如一堂课主题是一元一次方程，但让学生参与活动的例子有一多半与一元一次方程不相干，这样的活动课我认为就不能算成功。

活动与探究不能局限于教材和课堂，因为空间和时间是有限的，应该注意利用各种可以利用的资源。2005年底我访问印度时，曾被邀请到幼儿园、小学、中学参观、听课。到了一所中学，校长不是让我们给学生做讲演，而是安排我们回答学生的问题，我记得他们问的问题如概率论有什么发展前景、学习对数和对数表有什么用、猜想和证明的关系等等。这些问题说明学生在思考，印度学校的教师很注意抓机会搞这类活动，他们称之为“interaction”，就是我们说的互动。说明在组织数学活动教学中教师起着主导的作用。

最后一个问题是关于传统性与时代性。数学教学的知识结构体系不能一成不变，应该适应时代的需要，随着时代的变化而变化、调整。但另一方面这种变化又不能频繁进行，需要保持一定的稳定性，没有一定的稳定性就可能大起大落、大摇大摆。我们不能经常调整教材。当前的教改可以说是一次比较全面的知识结构的调整，要把握机会，但在做的过程中要注意平衡。比如义务教育阶段，传统几何的内容应占多大的份量，归纳推理和演绎推理的教学怎样保持平衡。欧几里得几何并不是说本身有多重要，它的重要性是在于作为训练人的演绎思维的体操。过去对算法重视不够，随着计算机的发展，这方面要求越来越高，我们应当增加这方面的内容。但扬此未必抑彼。不能认为两千年前的东西就一定陈旧和没有时代性。学生需要有一定的演绎推理训练，在这方面欧氏几何迄今仍然是无可替代的载体，过分减弱达不到这样的目标。另一方面我又觉得要中学生体会公理化思想的要求高了。从一些定义和不证自明的公理出发通过一定的逻辑法则推出新的结论即定理，这是欧氏几何的基本思想。后来发现欧氏几何的公理系统存在一些问题，比如个别公理其实是多余的，即可以是别的公理的推论，那就不应该叫公理，公理是不需要也不能证明的。长期以来人们还怀疑平行公理是不是公理，直到19世纪才弄清平行公理确实不能从别的公理推证，它是独立的，由此引发了非欧几何的发现。19世纪末，德国数学家希尔伯特首次明确提出了对公理系统的逻辑要求，就是说公理系统中的公理不能是任意的集合，它们要满足一定的条件，即无矛盾性（不能相互矛盾）；独立性（不能有多余的公理），完备性（不能缺少公理），这就是现代公理化方法。要讲公理化就要讲清这些，但目前即使大学数学本科一般也不讲。其实对中学生最主要的是掌握证明的思想和方法。现行初中数学课标不称公理而叫基本事实，我觉得叫基本事实可能更好，因为有些实际上已不是公理，只不过为了降低教学难度和减轻学生负担，把它看作是无需证明的事实。应该允许这样的改革，但基本事实的选择应该有讲究，太多了会造成误导甚至混乱。除了几何，在算术和代数中，符号意识和计算能力的培养，这中间也有平衡的问题。我听到不少反映说，现在学生的计算能力有所减弱。当然我手头没有具体的数据，但我相信这些老师说的是负责任的真话，我们需要注意分析原因，加强学生计算能力的培养。再有，如前面所说，概率统计内容进入基础教育是时代的需要，以前没有，刚加进来时很有些阻力，但后来慢慢进来了，站稳脚跟了。现在的问题我觉得是另一种倾向，存在重复和偏多偏难的情况。小学讲一遍平均数、中位数、众数，初中又来一遍，到了高中又来一遍。这也不符合螺旋上升的原则，是旋而不升了。另外基础教育阶段对随机性数学要求到什么程度？小学要不要讲概率？高中统计方法究竟讲多少为宜？这些都是值得斟酌的问题。说到高中课改，课标规定的必修内容及选修系列一、二，大部分是传统的素材，当然也加入了算法等新内容。选修系列三、四共十六个专题，时代性强，可以适合不同学生的不同兴趣和需要，对于全面加强素质教育是有积极意义的。但实施遇到很大的困难，十六个专题如果全面拉开战线我看够呛。讲欧拉公式可以，但要中学生比较系统的了解闭曲面分类等拓扑学概念就有难度。还有，尺规三等分角的不可能，证明需要扩域的知识，也并不适合中学生学习。诸如此类，所以我坚持主张有些专题应该暂缓。这是从客观的认知规律出发，从我国师资队伍的现实和千万学生的长远发展出发，是为了使正在进行的数学课程改革能稳步地向前推进。当然我也不赞成只局限选修其中少数传统的内容（如证明，不等式，坐标系等），那样就失去了选修课设置的意义。这里确实有个度的问题。

总之，现在是一个数学教学知识与体系调整变革的时期，我们一定要把握有度。把握事物的度，本身是一种理念，更是一种艺术。在方向确定以后，对事物的成功往往起关键影响。相信通过大家的努力探索和实践，一定能创造出好的经验，为基础数学教育改革作出重要贡献，建立有中国特色的和谐有度的现代化数学教育体系。

（衷心感谢《数学通报》编辑部提供的发言稿）