2002年全国高中数学联赛试题
（第一试） |
一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）
1、函数f(x)=log1/2(x2-2x-3)的单调递增区间是（ ）。
（A）（－∞,－1） （B）（－∞,1） （C）（1,＋∞） （D）（3,＋∞）
2、若实数x，y满足(x+5)2+(y-12)2=142，则x2+y2的最小值为（ ）。
（A）2 （B）1 （C）√3 （D）√2
3、函数f(x)=x/(1-2x)-x/2（ ）
（A）是偶函数但不是奇函数（B）是奇函数但不是偶函数（C）既是偶函数又是奇函数（D）既不是偶函数也不是奇函数
4、直线x/4+y/3=1与椭圆x2/16+y2/9=1相交于A，B两点，该椭圆上点P，使得ΔPAB面积等于3，这样的点P共有（ ）。
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
5、已知两个实数集合A＝｛a1,a2,…,a100｝与B＝｛b1,b2,…,b50｝，若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100)则这样的映射共有（ ）。
（A） （B） （C） （D） 
6、由曲线x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V1；满足x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的点（x,y）组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则（ ）。
（A）V1=（1/2）V2 （B）V1=（2/3）V2
（C）V1=V2 （D）V1=2V2
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7、已知复数Z1,Z2满足∣Z1∣＝2,∣Z2∣＝3,若它们所对应向量的夹角为60°,则∣(Z1＋Z2)/(Z1＋Z2)∣= 。
8、将二项式 的展开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的幂指数是整数的项共有 个。
9、如图，点P1，P2，…，P 10分别是四面体顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组（P1，Pi，Pj，Pk）（1＜i＜j＜k≤10）有 个。
10、已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5，f(x+1)≤f(x)+1。若g(x)=f(x)+1-x，则g(2002)= 。
11、若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，则∣x∣-∣y∣的最小值是 。
12、使不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围是 。
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13、已知点A（0,2）和抛物线y2=x+4上两点B，C使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围。
14、如图，有一列曲线P0，P1，P2……，已知P0所围成的图形是面积为1的等边三角形，Pk+1是对Pk进行如下操作得到：将Pk的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（k=0,1,2,）。记Sn为曲线Pn所围成图形的面积。 ……
（1）求数列｛Sn｝的通项公式；
（2）求 Sn.
15、设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)满足条件：
（1）当x∈R时,f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥x;
（2）当x∈(0,2)时，f(x)≤((x+1)/2)2;
（3）f(x)在R上的最小值为0.
求最大的m(m＞1)，使得存在t∈R，只要x∈[1,m]，就有f(x+t)≤x。
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2002年全国高中数学联赛试题
（第二试） |
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 一．（本题满分50分）
如图，在△ABC中，∠A＝60°, AB＞AC, 点O是外心，两条高BE、CF交于H点。
点M、N分别在线段BH、HF上，且满足BM＝CN 。
求：（MH + NH）/OH 的值 。
二．（本题满分50分）
实数a,b,c和正数 λ 使得 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c 有三个实根x1,x2,x3, 且满足
（1）x2 - x1＝λ
（2）x3 ＞(x1＋x2)/2
求：(2a3 + 27c - 9ab)/λ3 的最大值 。
三．（本题满分50分）
在世界杯足球赛前，F国教练为了考察A1,A2,…,A7这七名队员，准备让他们在三场训练比赛（每场90分钟）都上场。假设在比赛的任何时刻，这些队员中有且仅有一人在场上，并且A1,A2,A3,A4每人上场的总时间（以分钟为单位）均被7整除，A5,A6,A7每人上场的总时间（以分钟为单位）均被13整除．如果每场换人次数不限，那么按每名队员上场的总时间计算，共有多少种不同的情况。
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