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[组图]2003年全国高中数学联合竞赛试题         ★★★
2003年全国高中数学联合竞赛试题
作者:佚名 文章来源:http://www.aoshoo.com 点击数: 更新时间:2005-8-15 10:15:38
2003年全国高中数学联赛
第一试
一、选择题(每小题6分,满分36分)
1.删去正整数数列1,2,3,……中的所有完全平方数,得到一个新数列.这个新数列的第2003项是
(A)2046    (B)2047   (C)2048  (D)2049
2.设a, b∈R, ab≠0,那么,直线 ax-y+b=0和曲线 bx2+ay2=ab 的图形是
    (A)          (B)         (C)         (D)
3.过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60°的直线.若此直线与抛物线交于A,B两点,弦AB的中垂线与x轴交于P点,则线段PF的长等于 (A) 16/3  (B) 8/3   (C)16√3/3   (D)8√3
4.若x∈[-5π/12,-π/3则y = tan(x+2π/3)-tan(x+π/6)+cos(x+π/6)的最大值是
(A) (12/5)√2  (B) (6/11)√2  (C) (11/6)/√3  (D) (12/5)√3
5.已知x,y都在区间(-2,2)内,且xy=-1,则函数u=4/(4-x2)+9/(9-y2)的最小值是
(A) 8/5    (B) 24/11   (C) 12/7    (D) 12/5
6.在四面体ABCD中,设AB=1,CD=√3,直线AB与CD的距离为2,夹角为π/3,则四面体ABCD的体积等于
(A) √3/2   (B) 1/2   (C) 1/3   (D) √3
二、填空题(每小题9分,满分54分)
7.不等式|x|3-2x2-4|x|+3<0的解集是__________.
8.设F1,F2是椭圆x2/9+y2/4的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|:|PF2|=2:1,则△PF1F2的面积等于__________.
9.已知A={x|x2-4x+3<0,x∈R}, B={x|≤0, x2-2(a+7)x+5≤0,x∈R}.若A是B的子集, 则实数a的取值范围是____________.
10.已知a,b,c,d均为正整数,且logab=3/2, logcd=5/4,若a-c=9, 则b-d=________.
11.将八个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内,并使得每个球和其相邻的四个球相切,且与圆柱的一个底面及侧面都相切,则此圆柱的高等于________.
12.设Mn={(十进制)n位纯小数0.a1a2…an|ai只取0或1(i=1,2,…,n-1),an=1},Tn是Mn中元素的个数,Sn是Mn中所有元素的和,则
(Sn/Tn)=_______.
三、解答题(每小题20分,满分60分)
13. 已知3/2≤x≤5,证2√(x+1)+√(2x-3)+√(15-3) < 2√19
14. 设A、B、C分别是复数Z0=ai,Z1=1/2+bi,Z2=1+ci对应的不共线三点。 证:曲线Z=Z0cos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t与中平行于AC的中位线只有一个公共点,并求出此点。
15. 一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A,且OA=a,折叠纸片,使圆周上某一点A'刚好与A点重合,这样的每一种折法,都留下一条直线折痕,当A'取遍圆周上所有点时,求所有折痕所在直线上点的集合。
2003年全国高中数学联赛
第二试
一、(50分)过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线,切点为A, B 。 所作割线交圆于C, D两点,C在P, D之间。 在弦CD上取一点Q,使 ∠DAQ = ∠PBC 。 求证: ∠DBQ = ∠PAC 。

二、(50分)设三角形的三边长分别是整数 a,b,c 且 a > b > c 。已知:{3^a/104} = {3^b/104} = {3^c/104} 分别为a,b,c)其中 {x} = x - [x],而 [x] 表示不超过 x 的最大整数。求这种三角形周长的最小值。( 3^x 表示3的x次幂,^运算优先于/运算。)

三、(50分) 由n个点和这些点之间的 x 条连线段组成一个空间四边形,其中 n = q2 + q + 1 ,x≥q(q+1)2 + 1 ,q≥2 ,q∈N 。 已知此图中任四点不共面,每点至少有一条连线段,存在一点至少有 q + 2 条连线段. 证明:图中必存在一个空间四边形(即由四点A,B,C,D和四条连线段AB,BC,CD,DA组成的图形)。
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