2003年全国高中数学联赛
第一试 |
一、选择题（每小题6分,满分36分）
1．删去正整数数列1,2,3,……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个新数列的第2003项是
(A)2046 (B)2047 (C)2048 (D)2049
2．设a, b∈R, ab≠0，那么，直线 ax-y+b=0和曲线 bx2+ay2=ab 的图形是 
(A) (B) (C) (D)
3．过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60°的直线．若此直线与抛物线交于A,B两点，弦AB的中垂线与x轴交于P点，则线段PF的长等于 (A) 16/3 (B) 8/3 (C)16√3/3 (D)8√3
4．若x∈[-5π/12，-π/3则y = tan(x+2π/3)-tan(x+π/6)+cos(x+π/6)的最大值是
(A) (12/5)√2 (B) (6/11)√2 (C) (11/6)/√3 (D) (12/5)√3
5．已知x,y都在区间(-2,2)内，且xy＝-1，则函数u=4/(4-x2)+9/(9-y2)的最小值是
(A) 8/5 (B) 24/11 (C) 12/7 (D) 12/5
6．在四面体ABCD中，设AB=1，CD=√3，直线AB与CD的距离为2，夹角为π/3，则四面体ABCD的体积等于
(A) √3/2 (B) 1/2 (C) 1/3 (D) √3
二、填空题(每小题9分,满分54分)
7．不等式|x|3-2x2-4|x|+3＜0的解集是__________.
8．设F1,F2是椭圆x2/9+y2/4的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|:|PF2|=2:1，则△PF1F2的面积等于__________.
9．已知A={x|x2-4x+3＜0,x∈R}, B={x|≤0, x2-2(a+7)x+5≤0,x∈R}．若A是B的子集, 则实数a的取值范围是____________.
10．已知a,b,c,d均为正整数，且logab=3/2, logcd=5/4，若a-c=9, 则b-d=________.
11．将八个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于________.
12．设Mn={(十进制)n位纯小数0.a1a2…an|ai只取0或1(i=1,2,…,n-1)，an=1}，Tn是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则
 (Sn/Tn)=_______.
三、解答题(每小题20分，满分60分)
13. 已知3/2≤x≤5,证2√(x+1)+√(2x-3)+√(15-3) < 2√19
14. 设A、B、C分别是复数Z0=ai,Z1=1/2+bi,Z2=1+ci对应的不共线三点。 证：曲线Z=Z0cos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t与中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点。
15. 一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A，且OA=a，折叠纸片，使圆周上某一点A'刚好与A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当A'取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合。 |
2003年全国高中数学联赛
第二试 |
一、（50分）过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A， B 。 所作割线交圆于C， D两点，C在P， D之间。 在弦CD上取一点Q，使 ∠DAQ = ∠PBC 。 求证： ∠DBQ = ∠PAC 。
二、（50分）设三角形的三边长分别是整数 a,b,c 且 a > b > c 。已知：{3^a/104} = {3^b/104} = {3^c/104} 分别为a,b,c)其中 {x} = x - [x],而 [x] 表示不超过 x 的最大整数。求这种三角形周长的最小值。( 3^x 表示3的x次幂，^运算优先于/运算。)
三、（50分） 由n个点和这些点之间的 x 条连线段组成一个空间四边形,其中 n = q2 + q + 1 ,x≥q(q+1)2 + 1 ,q≥2 ,q∈N 。 已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有 q + 2 条连线段. 证明：图中必存在一个空间四边形（即由四点A，B，C，D和四条连线段AB，BC，CD，DA组成的图形）。 | |
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