2000年全国高中数学联赛试题
第一试 |
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．设全集是实数，若A={x|√(x-2)≤0}，B={x|10x2 - 2 = 10x},则A∩B是( )
(A){2} (B){-1} (C){x|x≤2} (D)空集 [注：√表示根号]
2．设sina＞0,cosa＜0,且sin(a/3)＞cos(a/3),则a/3的取值范围是( )
(A)(2kπ+π/6,2kπ+π/3),k∈Z (B)(2kπ+π/6,2kπ－π/3),k∈Z
(C)(2kπ+5π/6,2kπ+π),k∈Z (D)(2kπ+π/4,2kπ+π/3)∪(2kπ+5π/6,2kπ+π),k∈Z
3．已知点A为双曲线x2-y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是( )
(A)√3/3 (B)3√3/2 (C)3√3 (D)6√3
4．给定正数p,q,a,b,c，其中p≠q，若p,a,q是等比数列，p,b,c,q是等差数列，则一元二次方程bx2-2ax+c=0( )
(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根
5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=(5/3)x+4/5的距离中的最小值是( )
(A)√34/170 (B)√34/85 (C)1/20 (D)1/30
6．设ω = cos(π/5)+isin(π/5)，则以ω,ω3,ω7,ω9为根的方程是( )
(A)x4+x3+x2+x+1=0 (B) x4-x3+x2-x+1=0
(C) x4-x3-x2+x+1=0 (D) x4+x3+x2-x-1=0
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7．arcsin(sin2000°)=__________.
8．设an是(3-√x)n的展开式中x项的系数(n=2,3,4,…)，则(32/a2+33/a3+…+3n/an)的极限=________.
9．等比数列a + log23,a + log43,a + log83的公比是____________.
10．在椭圆x2/a2+y2/b2(a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是(√5 - 1)/2，则∠ABF=____.
11．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________.
12．如果：(1)a,b,c,d都属于{1,2,3,4}；(2)a≠b,b≠c,c≠d,d≠a；(3)a是a,b,c,d中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数 的个数是_________.
三、解答题(本题满分60分，每小题20分)
13．设Sn=1+2+3+…+n，求f(n)=Sn/((n+32)Sn+1)的最大值.
14．若函数f(x)=(-1/2)x2+13/2在区间[a,b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a,b].
15．已知C0:x2+y2=1和C1:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)。试问：当且仅当a,b满足什么条件时，对C1上任意一点P，均存在以P为项点,与C0外切,与C1内接的平行四边形？并证明你的结论。
2000年全国高中数学联赛试题
第二试 |
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 一、（本题满分50分）
如图，在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F，满足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB，FN⊥AC（M、N是垂足），延长AE交三角形ABC的外接圆于D．证明：四边形AMDN与三角形ABC的面积相等．
二、（本题满分50分）
设数列{an}和{bn }满足，且对于任意自然数（包括0）
an+1 = 7an + 6bn - 3
bn+1 = 8an + 7bn - 4
求证：an 是完全平方数
三、（本题满分50分）
有 n 个人，已知他们中的任意两人至多通电话一次，他们中的任意 n－2 个人之间通电话的次数相等，都是 3k 次，其中 k 是自然数，求 n 的所有可能值．
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