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[图文]1999年全国高中数学联合竞赛试题 |
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1999年全国高中数学联合竞赛试题
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作者：佚名 文章来源：本站原创 点击数： 更新时间：2005/8/15 10:06:00  |
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1999年全国高中数学联合竞赛试题
第一试 |
| 一． 选择题（满分36分，每小题6分） |
1． 给定公比为q(q≠1)的等比数列{an}，设b1＝a1＋a2＋a3,b2＝a4＋a5＋a6,…,bn＝a3n-2＋a3n-1＋a3n,…，则数列{bn}( )
(A)是等差数列 (B)是公比为q的等比数列 (C)是公比为q3的等比数列 (D)既非等差数列也非等比数列
2． 平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式 (|x|－1)2＋(|y|-1)2＜2的整点(x，y)的个数是( )
(A)16 (B)17 (C)18 (D)25
3． 若(log23)x - (log53)x ≥ (log23)-y - (log53)-y，则( )
(A)x-y≥0 (B)x＋y≥0 (C)x-y≤0 (D)x＋y≤0
4． 给定下列两个关于异面直线的命题：
命题Ⅰ：若平面a上的直线a与平面b上的直线b为异面直线，直线c是a与b的交线，那么c至多与a,b中的一条相交；
命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。
那么，( )
(A)命题Ⅰ正确，命题Ⅱ不正确 (B)命题Ⅱ正确，命题Ⅰ不正确 (C)两个命题都正确 (D)两个命题都不正确
5． 在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。那么，在上述3名选手之间比赛的场数是( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
6． 已知点A(1,2)，过点(5,-2)的直线与抛物线y2＝4x交于另外两点B,C，那么，△ABC是( )
(A)锐角三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形 (D)答案不确定 |
| 二． 填空题（满分54分，每小题9分） |
1． 已知正整数n不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的n的个数是___________．
2． 已知θ＝arctg(5/12)，那么复数z=(cos2θ+isin2θ)/(239+i)的辐角主值是__________．
3． 在△ABC中，记BC＝a，CA＝b，AB＝c，若9a2＋9b2-19c2＝0，则ctgC/(ctgA+ctgB)＝__________．
4． 已知点P在双曲线x2/16-y2/9上，并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么，P的横坐标是_____．
5． 已知直线ax＋by＋c＝0中的a，b，c是取自集合{-3，-2，-1，0，1，2，,3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是_______．
6． 已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，二面角H-AB-C的平面角等于30°, SA＝2√3。那么三棱锥S-ABC的体积为__________．[注：√表示根号] |
| 三、(满分20分)已知当x∈[0,1]时，不等式x2cosθ-x(1-x)+(1-x)2sinθ > 0恒成立，试求θ的取值范围． |
| 四、(满分20分)给定A(-2,2)，已知B是椭圆上的动点，F是左焦点，当|AB|＋5|BF|/3取最小值时，求B的坐标． |
| 五、(满分20分)给定正整数n和正数M，对于满足条件a12 + an+12≤M的所有等差数列a1,a2,a3,…，试求S＝an+1 + an+2 + … +a2n+1的最大值． |
1999年全国高中数学联合竞赛试题
第二试 |
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 一、（本题满分50分）
如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G。求证：∠GAC＝∠EAC。
二、（本题满分50分）
给定实数a,b,c，已知复数 z1,z2,z3 满足：|z1| = |z2| = |z3| = 1 ,z1/z2 = z2/z3 = z3/z1,求 |az1+bz2+cz3| 的值。
三、（本题满分50分）
给定正整数 n，己知用克数都是正整数的 k 块砝码和一台天平可以称出质量为1，2，3，…，n克的所有物品。
（1）求 k 的最小值 f(n)；
（2）当且仅当 n 取什么值时，上述 f(n) 块砝码的组成方式是唯一确定的？并证明你的结论。 | |
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