一九九八年全国高中数学联合竞赛试卷
第一试 |
| 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） |
1．若a＞1,b＞1且lg(a+b)=lga+lgb，则lg(a-1)+lg(b-1)的值 ( )
(A) 等于lg2 (B)等于1 (C)等于0 (D)不是与a,b无关的常数
2．若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22}，则能使A A∩B成立的所有a的集合是( )
(A){a|1≤a≤9} (B){a|6≤a≤9} (C){a|a≤9} (D)空集
3．各项均为实数的等比数列{an}前n项和记为Sn，若S10=10,S30=70，则S40等于( )
(A) 150 (B) -200 (C) 150或-200 (D)400或-50
4．设命题P：关于x的不等式a1x2+b1x+c1＞0与a2x2+b2x+c2＞0的解集相同；命题Q：a1/a2=b1/b2=c1/c2。则命题 Q ( )
(A)是命题P的充分必要条件 (B)是命题P的充分条件但不是必要条件
(C)是命题P的必要条件但不是充分条件 (D)既不是命题P的充分条件也不是命题P的必要条件 
5．设E ,F,G分别是正四面体ABCD的棱AB,BC,CD的中点，则二面角C-FG-E的大小是( )
(A) (B) 
(C) (D)
6．在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是( )
(A) 57 (B) 49 (C) 43 (D) 37 |
| 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） |
1．若f(x) (x∈R)是以2为周期的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)=x(1/1998)，则f(98/19),f(101/17),f(104/15)由小到大的排列是_________________.
2．设复数z=cosθ+isinθ(0°≤θ≤180°)，复数z,(1+i)z, 在复平面上对应的三个点分别是P,Q,R，当P,Q,R不共线时，以线段PQ,PR为两边的平行四边形的第四个顶点为S，则点S到原点距离的最大值是_______.
3．从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数中取出3个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有________种. 
4．各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有___________项.
5．若椭圆x2+4(y-a)2=4与抛物线x2=2y有公共点，则实数a的取值范围是_____________.
6．△ABC中，∠C=90°,∠B=30°,AC=2，M是AB的中点，将△ACM沿CM折起，使A,B两点间的距离为 ，此时三棱锥A-BCM的体积等于________. |
三、（本题满分20分）已知复数z=1-sinθ+icos(θ) (π/2 < θ < π)，求z的共轭复数 的辐角主值。 |
四、（本题满分20分）设函数f(x)=ax2+8x+3(a＜0)，对于给定的负数a，有一个最大的正数l(a)，使得在整个区间[0,l(a)]上，不等式|f (x)|≤5都成立。
问：a为何值时l(a)最大？求出这个最大的l(a)，证明你的结论。 |
五、（本题满分20分） 已知抛物线y2=2px及定点A(a,b),B(-a,0),(ab≠0,b2≠2pa)，M是抛物线上的点，设直线AM,BM与抛物线的另一交点分别为M1,M2.
求证：当M点在抛物线上变动时（只要M1,M2存在且M1≠M2），直线M1M2恒过一个定点，并求出这个定点的坐标。 |
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一九九八年全国高中数学联合竞赛试卷
第二试 |
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一、（50分）如图，O、I 分别为ΔABC的外心和内心，AD是BC边上的高，I在线段OD上。求证：ΔABC的外接圆半径等于BC边上的
旁切圆半径。
注：ΔAB 的BC边上的旁切圆是与边AB、AC的延长线以及边BC都相切的圆。
二、（50分）设 a1，a2， … ，an ；b1，b2， … ，bn∈[ 1，2 ] 且 a12 + a22 + … + an2 = b12 + b22 + … + bn2。
设 Xi = ai3/bi 求证：X1 + X2 + … + Xn ≤ 17( a12 + a22 + … + an2 )/10。并问：等号成立的充要条件。
三、对于正整数 a、n ，定义 Fn（a）= q + r ，其中 q、r 为非负整数，a = qn + r ，且 0≤ r < n 。求最大的正整数A，使得存在正整数 n_1 ，n_2 ，n_3 ， n_4 ，n_5 ，n_6 ，对于任意的正整数 a ≤A ，都有
Fn_6（Fn_5（Fn_4（Fn_3（Fn_2（Fn_1（a））））））= 1
证明你的结论。
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