1996年全国高中数学联合竞赛试题
(第一试) |
| 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） |
1.把圆 x2+(y-1)2 =1与椭圆 9x2+(y+1)2 = 9 的公共点, 用线段连接起来的图形是 ___ ．
(A) 线段 (B) 不等边三角形 (C) 等边三角形 (D) 四边形
2.等比数列{an}的首项a1＝1536, 公比是q＝-(1/2)．用 Tn表示它的前n项之积，则 Tn(n N)最大值的是 ___．
(A) T9 (B) T11 (C) T12 (D) T13
3.存在整数n，使 是整数的质数p ___．
(A) 不存在 (B) 只有一个 (C) 多于一个，但为有限个 (D)有无穷多个
4.设x(–1/2，0)，以下三个数： a1=cos(sin x ), a2=sin(cos x), a3=cos (x+1)的大小关系是 ___．
(A) a3 < a2 < a1 (B) a1 < a3 < a2 (C) a3 < a1 < a2 (D) a2 < a3 < a1
5.如果在区间[1, 2]上, 函数f(x) = x2 + px + q与g(x) = x + (1/x)2在同一点取相同的最小值, 那么f(x)在该区间上的最大值是 ___．
(A) (B) (C) (D)以上答案都不对
6.高为8的圆台内有一个半径为2的球O1, 球心O1在圆台的轴上. 球O1与圆台上底面、侧面都相切. 圆台内可再放入一个半径为3的球O2, 使得球O2与球O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点, 除球O2, 圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是 ___．
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 |
| 二、 填空题(本题满分54分,每小题9分) |
1.集合{x| –1<=log(1/x)10<–(1/2) , xN}的真子集的个数是________．[注:这里的N不包括自然数0]
2.复平面上非零复数z1、z2在以i为圆心1为半径的圆上，z1z2的实部为零，z1的辐角主值为 ，则z2 = ____________．
3.曲线C的极坐标方程是 r=1+cos , 点A的极坐标是(2, 0)． 曲线C在它所在的平面内绕A 旋转一周, 则它扫过的图形的面积是______．
4.已知将给定的两个全等的三棱锥的底面粘在一起, 恰得到一个所有二面角都相等的六面体, 并且该六面体的最短棱的长为2, 则最远的两个基本点顶点的距离是__________．
5.从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色.将一个正方体的六个面染色, 每面恰染一种颜色, 每两个具有公共棱的面染成不同颜色.则不同的染色方案共有_____________种． (注:如果我们对两个相同的正方体染色后,可以通过适当的翻转,使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同,那么,我们就说这两个正方体的染色方案相同).
6.在直角坐标平面上，以（199，0）为圆心，以199为半径的圆周上，整点（即横、纵坐标皆为整数的点）的个数为_______________． |
|
1996年全国高中数学联合竞赛试题
(第二试) |
一、(25分)设数列 {an} 的前项和 Sn=2an-1 ,n∈N+ ，数列 {bn} 满足 b1=3,bk+1=bk+ak,求数列bk的前n项和。
 二、(25分)求实数 a 的取值范围，使得对任意实数 x 和任意 θ∈[0,π/2] 恒有
(x+3+2sincos)2 + (x+asin+acos)2 ≥1/8。
三、(35分)如图，圆O1和圆O2与△ABC的三边所在的三条直线都相切，E、F、G、H为切点，并且EG、FH的延长线交于P点，求证直线PA与BC垂直。
四、(35分)有 n(n≥5) 个人聚会。
已知：（1）每个人至少同其中 [n/2] 个人互相认识；
（2）对于其中任意 [n/2] 个人，或者其中有2人认识，或者余下的人中有2人相识。
证明：这n个人中必有3人两两相识。 | |
网友评论：（只显示最新10条。评论内容只代表网友观点，与本站立场无关！）