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[组图]1994年全国高中数学联合竞赛试题 |
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1994年全国高中数学联合竞赛试题
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作者：佚名 文章来源：本站原创 点击数： 更新时间：2005/8/15 9:12:14  |
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1994年全国高中数学联赛试题
第 一 试 |
| 一．选择题(每小题6分，共36分) |
1．设a，b，c是实数，那么对任何实数x， 不等式asinx+bcosx+c>0都成立的充要条件是
(A)a，b同时为0，且c > 0 (B) = c (C) < c (D) > c
2．给出下列两个命题：
(1)设a，b，c都是复数，如果a2+b2>c2，则a2+b2-c2>0；
(2)设a，b，c都是复数，如果a2+b2-c2>0，则a2+b2>c2．
那么下述说法正确的是
(A)命题(1)正确，命题(2)也正确 (B)命题(1)正确，命题(2)错误
(C)命题(1)错误，命题(2)也错误 (D)命题(1)错误，命题(2)正确
3．已知数列{an}满足3an+1+an=4(n>=1)，且，其前n项之和为Sn，则满足不等式|Sn-n-6|<1/125的最小整数n是
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
4．已知0x=(sina)logbsina，y=(cosa)logbcosa ,z=(sina)logbcosa，的大小关系是
(A)x＜z5．在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是
(A)  (B)  (C)  (D) 
6．在平面直角坐标系中，方程|x+y|/2a+|x-y|/2b=1(a，b是不相等的两个正数)所代表的曲线是
(A)三角形 (B)正方形 (C)非正方形的长方形 (D)非正方形的菱形 |
| 二、填空题(每小题9分，共54分) |
1．已知有向线段PQ的起点P和终点Q的坐标分别为(-1，1)和(2，2)，若直线 l：x＋my＋m＝0与PQ的延长线相交，则m的取值范围是__ ____．
2．已知 且 ，则cos(x+2y)=_____．
3．已知点集A={(x,y)|(x-3)2+(y-4)2<=(5/2)2}，B={(x,y)|(x-4)2+(y-5)2>(5/2)2}，则点集A交B中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为_____．
4．设 ，则  的最大值是______．
5．已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于a，则sina =___
6．已知95个数a1,a2,a3,…,a95， 每个都只能取+1或-1两个值之一，那么它们的两两之积的和a1a2+a2a3+…+a94a95的最小值是____． |
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1994年全国高中数学联赛试题
第 二 试 |
一．(本题满分25分) x的二次方程x2+z1x+z2+m=0中，z1,z2,m均是复数，且z12-4z2=16+20i , 设这个方程的两个根α,β满足|α-β|=2√7 。求|m|的最大值和最小值．
二．(本题满分25分)将与105互素的所有正整数从小到大排成数列，试求出这个数列的第1000项．
三、(本题满分35分) 如图，设三角形的外接圆O的半径为R，内心为I。∠B=60°,∠A < ∠C,∠A的外角平分线交圆O于E，证明:
(1) IO=AE；
(2) 2R < IO+IA+IC < (1+√3)R 。
四、 (本题满分35分) 给定平面上的点集P={P1,P2,…P1994}， P中任三点均不共线，将P中的所有的点任意分成83组，使得每组至少有3个点，且每点恰好属于一组，然后将在同一组的任两点用一条线段相连，不在同一组的两点不连线段，这样得到一个图案G，不同的分组方式得到不同的图案，将图案G中所含的以P中的点为顶点的三角形个数记为 m(G).
(1)求m(G)的最小值 m0
(2)设G*是使 m(G*)=m0 的一个图案，若G*中的线段(指以P的点为端点的线段)用4种颜色染色，每条线段恰好染一种颜色.证明存在一个染色方案，使G*染色后不含以P的点为顶点的三边颜色相同的三角形。 | |
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| 数学竞赛录入：admin 责任编辑：admin |
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