1993年全国高中数学联合竞赛试卷
第 一 试 |
| 一．选择题(每小题5分，共30分) |
1． 若M＝{(x，y)| |tgpy|+sin2px=0}，N＝{(x，y)| x2+y2≤2}，则 M∩N 的元素个数是（ ）
(A)4 (B)5 (C)8 (D)9
2． 已知f(x)＝asinx+b+4(a，b为实数)，且 f(lglog310)=5，则f(lglg3)的值是（ ）
(A)-5 (B)-3 (C)3 (D)随a，b取不同值而取不同值
3． 集合A，B的并集 A∪B ＝{a1，a2，a3}，当A≠B时，(A，B)与(B，A)视为不同的对，则这样的(A，B)对的个数是（ ）
（A）8 （B）9 （C）26 （D）27
4． 若直线x＝π/4 被曲线C：(x－arcsina)(x－arccosa)＋(y－arcsina)(y＋arccosa)＝0所截的弦长为d，当a变化时d的最小值是( )
(A)π/4 (B) π/3 (C)π/2 (D)π
5． 在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若c-a等于AC边上的高h，则sin((C-A)/2)+cos((C+A)/2)的值是( )
(A)1 (B)1/2 (C)1/3 (D)-1
6．设m，n为非零复数，i为虚数单位，z∈C,则方程| z＋ni|＋| z－mi|＝n与| z＋ni|－|z－mi|＝－m在同一复平面内的图形(F1，F2为焦点)是( )
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| 二．填空题（每小题5分，共30分） |
1． 二次方程(1－i)x2+(λ+i)x+(1+iλ)＝0(i为虚数单位，λ∈R)有两个虚根的充分必要条件是λ的取值范围为________．
2． 实数x，y满足4x2－5xy＋4y2＝5，设 S＝x2＋y2，则_______．
3． 若z∈C，arg(z2-4)＝5π/6，arg(z2+4)＝π/3，则z的值是________．
4． 整数 的末两位数是_______． （注：[a]表示不大于a的最大整数）
5． 设任意实数x0＞x1＞x2＞x3＞0，要使log(x0/x1)1993+log(x1/x2)1993+log(x2/x3)1993≥klog(x0/x3)1993恒成立，则k的最大值是_______．
6． 三位数(100，101，…，999)共900个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印一个三位数，有的卡片所印的，倒过来看仍为三位数，如198倒过来看是861；有的卡片则不然，如531倒过来看是 ，因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印_____张卡片． |
三．（本题满分20分）
三棱锥S－ABC中，侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，M为三角形ABC的重心，D为AB的中点，作与SC平行的直线DP．证明：(1)DP与SM相交；(2)设DP与SM的交点为D'，则D'为三棱锥S－ABC的外接球球心． |
四．（本题满分20分）
设0＜a＜b，过两定点A(a，0)和B(b，0)分别引直线l和m，使与抛物线y2＝x有四个不同的交点，当这四点共圆时，求这种直线l与m的交点P的轨迹． |
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五．（本题满分20分）
设正数列a0，a1，a2，…，an，…满足 (n≥2)且a0＝a1＝1．求{an}的通项公式． |
1993年全国高中数学联合竞赛试卷
第 二 试 |
一．（35分） 设一凸四边形ABCD，它的内角中仅有∠D是钝角，用一些直线段将该凸四边形分割成n个钝角三角形，但除去A、B、C、D外，在该四边形的周界上，不含分割出的钝角三角形顶点．试证n应满足的充分必要条件是n≥4．
二．（35分） 设A是一个有n个元素的集合，A的m个子集A1，A2，…，Am两两互不包含． 试证：
(1) ≤1； (2) ≥m2．
其中|Ai|表示Ai所含元素的个数， 表示n个不同元素取|Ai|个的组合数．
三．（35分） 水平直线m通过圆O的中心，直线 l⊥m，l与m相交于M，点M在圆心的右侧，直线l上不同的三点A，B，C在圆外，且位于直线m上方，A点离M点最远，C点离M点最近，AP，BQ，CR为圆O的三条切线，P，Q，R为切点．试证：
(1)l与圆O相切时，AB×CR+BC×AP＝AC×BQ；
(2)l与圆O相交时，AB×CR+BC×AP＜AC×BQ；
(3)l与圆O相离时，AB×CR+BC×AP＞AC×BQ． | |
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