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[组图]1992年全国高中数学联合竞赛试题 |
热 ★★★ |
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1992年全国高中数学联合竞赛试题
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作者：佚名 文章来源：本站原创 点击数： 更新时间：2005/8/15 9:04:59  |
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1992年全国高中数学联赛试卷
第一试 |
| 一．选择题(每小题5分，共30分) |
1. 对于每个自然数n，抛物线y=(n2＋n)x2-(2n＋1)x＋1与x轴交于An，Bn两点，以|AnBn|表示该两点的距离，则|A1B1|＋|A2B2|＋…＋|A1992B1992|的值是( )
(A)1991/1992 (B)1992/1993 (C)1991/1993 (D)1993/1992
2. 已知如图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，则这一曲线的方程是( )
(A)(x＋ )(y＋ )=0 (B)(x-)(y-)=0
(C)(x＋)(y-)=0 (D)(x-)(y＋)=0
3. 设四面体四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，它们的最大值为S，记λ=(S1+S2+S3+S4)/S，则λ一定满足( )
(A)2<λ≤4 (B)3<λ<4 (C)2.5<λ≤4.5 (D)3.5<λ<5.5
4. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别记为a，b，c(b≠1)，且C/A，sinB/sinA都是方程 =logb(4x-4)的根，则△ABC( )
(A)是等腰三角形，但不是直角三角形 (B)是直角三角形，但不是等腰三角形
(C)是等腰直角三角形 (D)不是等腰三角形，也不是直角三角形
5. 设复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A，B，且|z1|=4，4z12-2z1z2＋z22=0，0为坐标原点，则△OAB的面积为( )
(A)8√3 (B)4√3 (C)6√3 (D)1√3
[注：√表示根号。另外数字0(零）和字母O（欧）可能会在您的电脑显示器上显示成相同的字符。]
6. 设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足下列关系f(10＋x)＝f(10-x)， f(20-x)＝-f(20＋x)，则f(x)是( )
(A)偶函数，又是周期函数 (B)偶函数，但不是周期函数 (C)奇函数，又是周期函数 (D)奇函数，但不是周期函数 |
| 二．填空题(每小题5分共30分) |
1. 设x，y，z是实数，3x，4y，5z成等比数列，且1/x,1/y,1/z成等差数列，则x/z+z/x的值是______．
2. 在区间[0,π]中，三角方程cos7x=cos5x的解的个数是______．
3. 从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则k的最大值是_____．
4. 设z1，z2都是复数，且|z1|=3，|z2|=5，|z1＋z2|=7，则arg(z2/z1)3的值是______．
5. 设数列a1，a2，…，an，…满足a1=a2=1，a3=2，且对任何自然数n， 都有anan+1an+2≠1，又anan+1an+2an+3=an＋an+1＋an+2＋an+3，则a1＋a2＋…＋a100的值是_____．
6. 函数f(x)= - 的最大值是_____． |
三、(20分)求证： ． |
| 四、(20分)设l，m是两条异面直线，在l上有A，B，C三点，且AB=BC，过A，B，C分别作m的垂线AD，BE，CF，垂足依次是D，E，F，已知AD=√15，BE=7/2，CF=√10，求l与m的距离．[注：√表示根号] |
五、(20分)设n是自然数，fn(x)=(xn+1-x-n-1)/(x-x-1) (x≠0，1,-1)，令y=x+(1/x).
1.求证:fn＋1(x)=yfn(x)-fn－1(x)，(n>1)
2.用数学归纳法证明：
fn(x)=  |
1992年全国高中数学联赛试卷
第二试 |
一、(35分)设A1A2A3A4为⊙O的内接四边形，H1，H2，H3，H4依次为△A2A3A4，△A1A3A4，△A1A2A4，△A1A2A3的垂心，求证：H1，H2，H3，H4四点在同一个圆上，并定出该圆的圆心位置．
二、(35分)设集合 Sn＝{1，2，…，n}．若X是Sn的子集，把X中所有数的和称为X的“容量”(规定空集的容量为0)，若X的容量为奇(偶)数，则称X为的奇(偶)子集．
1．求证 Sn 的奇子集与偶子集个数相等．
2．求证：当 n≥3 时，Sn 的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和．
3．当 n≥3 时，求 Sn 的所有奇子集的容量之和．
三、(35分)在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点，任取6个格点Pi (xi，yi)(i=1，2，3，4，5，6)满足
(1) | xi |≤2，| yi |≤2，(i=1，2，3，4，5，6)，
(2) 任何三点不在同一条直线上．
试证：在以Pi (i=1，2，3，4，5，6)为顶点的所有三角形中，必有一个三角形，它的面积不大于2． | |
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