一、“两纲”的学习与解读

（一）高中数学教学大纲的再学习

1．关于教学目的：

使学生学好从事社会主义现代化建设和进一步学习所必需的代数、几何、概率统计、微积分初步的基础知识、基本技能，以及其中的数学思想方法．

2．关于教学要求：

在数学教学过程中注重培养学生数学地提出问题、分析问题和解决问题的能力，发展学生的创新意识和实践能力，提高学生数学探究能力、数学建模能力和数学交流能力，进一步发展学生的数学实践能力．

努力培养学生数学思维能力，包括：空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明、体系构建等诸多方面，能够对客观事物中的数量关系和数学模式作出思考和判断．

激发学生学习数学的兴趣，使学生树立学好数学的信心，形成事实求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神，认识数学的科学价值和人文价值，从而进一步树立辩证唯物主义的世界观．

3．教学中的几个注意的问题：

转变教学观念，改进教学方法．教师要依据教材，又不囿于教材，把学生的知识、经验、生活世界作为重要的课程资源，鼓励学生自主学习．在教学过程中，要充分发挥学生的自主性和创造性，鼓励学生即兴创造、超越预设的教学目标．

重视创新意识和实践能力的培养．培养学生的创新意识和实践能力要成为数学教学的一个重要目标和一条基本原则．……在数学教学中要增强用数学的的意识．一方面应使学生通过背景材料，进行观察、比较、分析、综合、抽象和推理，得出数学概念和规律；另一方面，要使学生接触自然、了解社会，能用数学知识和思想方法解决简单的实际问题，提高数学建模能力．要把实习作业和研究性学习课题作为培养创新意识和实践能力的重要载体．

（二）2007年数学科《考试大纲》的解读

从总体上看，由教育部考试中心颁布的2007年数学科考试大纲与2006年的数学科考试大纲相对照，变化不大．考试性质、考试要求中的命题原则及其命题指导思想都没有变化，只是对有关考试内容的具体的考试要求略作修改．

1．数学高考内容的三大要求

知识要求：这里的知识是指教学大纲所规定的教学内容中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及其中的数学思想方法．三个层次：了解、理解和掌握、灵活和综合运用．

能力要求：这里的能力是指思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识．大纲对上述能力作了细化说明，并提出了明确的要求．

个性品质要求：个性品质是指考生个体的情感、态度和价值观．具有一定的数学视野，认识数学的科学价值和人文价值，崇尚数学的理性精神，形成审慎思维的习惯，体会数学的美学意义．

2．对数学思想方法的考查

3．数学《考试大纲》的几点修改

由教育部考试中心颁布的2007年《考试大纲》，与2006年相比，除了考试要求以及考试内容略作修改以外，其余都未改动，在总体上与2006年的《考试大纲》保持了较好的一致性。

文科

（1）考试要求的修改①总体要求的修改；②知识要求的修改；③能力要求的修改。

（2）考试内容的修改①三角函数的修改；②直线、平面、简单几何体的修改。

理科

除了考试内容中直线、平面、简单几何体（B）版考试要求（2）中的“理解直线和平面垂直的概念”仍保留以外，其余修改条款及内容与文科一样。

二、数学高考的总体方向

（一）数学高考的六个导向

（二）第二轮复习质量的几个原则

1．落实双基，突出重点的原则

九大重点章节：

六个重点板块：

十五种重要技能：

1．(2005全国卷Ⅰ)设0<a<1，函数．则使f(x)<0的x的取值范围是（   ）

A．   B．   C．   D．

2．（06天津文10）如果函数且在区间上是增函数，那么实数的取值范围是（   ）

A．   B．   C．   D．

3．（06辽宁理6，文9）△ABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c设向量,,若,则角C的大小为（   ）

A．   B．   C．   D．

4．(2005全国卷Ⅰ)设正项等比数列{a_n}的首项，前n项和为S_n，且．

（Ⅰ）求{a_n}的通项；（Ⅱ）求{nS_n}的前n项和T_n．

2．提炼思想，发展思维的原则

5．设,且

求cos(x+2y)的值.(答案：1)

6．（2000年北京、安徽春季卷试题）

已知函数f(x)=ax³+bx²+cx+d的图象如图所示则（A）．

（A）b∈(-∞,0)   （B）b∈(0,1)        

（C）b∈(1,2)     （D）b∈(2,+∞)       

7．（2005浙江卷）已知向量，对任意的，t∈R恒有≥，

则（　C　　）．

A．   B．   C．   D．

8．（2005年上海卷理16）设定义域为R的函数，则关于x的

方程f²(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是（C）.

（A）b<0且c>0   （B）b>0且c<0   （C）b<0且c=0   （D）b≥0且c=0

9．（全国卷Ⅰ）在△ABC中，已知，给出以下四个论断：  

①    ②

③④

其中正确的是(B).

（A）①③   （B）②④   （C）①④   （D）②③

10．（2005北京卷）设数列{a_n}的首项，且记

（Ⅰ）求a₂,a₃;

（Ⅱ）判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的结论；

（Ⅲ）求

11．（2005全国卷Ⅲ）设三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为V，P、Q分别是侧棱AA₁、CC₁上的点，且PA=QC₁，则四棱锥B-APQC的体积为（C）．

（A）   （B）   （C）   （D）

12．（2005重庆卷）已知R，讨论函数的极值点的个数．

13．（2005全国丙卷）9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种。假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的数学期望.（精确到0.01）

3．注重交汇，变换视角的原则

函数极限、函数连续、函数导数的概念

14．（2005江西卷）（C）．

（A）－1   （B）1   （C）－   （D）

15．（2005辽宁卷）极限存在是函数f(x)在点x=x₀处连续的（B）．

A．充分而不必要的条件   B．必要而不充分的条件

C．充要条件            D．既不充分也不必要的条件

16．（2006重庆理20）已知函数f(x)=(x²+bx+c)e²，其中b,c∈R为常数．

（Ⅰ）若b²>4c-1，讨论函数f(x)的单调性；

（Ⅱ）若b²≤4(c-1)，且，试证：-6≤b≤2．

函数的单调性及单调区间

17．(2005广东卷)函数f(x)=x³-3x²+1是减函数的区间为(D).

（A）(2,+∞)   （B）(-∞,2)   （C）(-∞,0)   （D）(0,2)

18．（2004湖南）设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是（）

（A）(-3,0)∪(3,+∞)   （B）(-3,0)∪(0,3)

（C）(-∞,－3)∪(3,+∞)（D）(-∞,－3)∪(0,3)

19．(2005江西卷)已知函数的图象如右图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中y=f(x)的图象大致是(C )．

20．（2006江西文理5）对于R上可导的任意函数f(x)，若满足，则必有（　　）．

（Ａ）（Ｂ）

（Ｃ）（Ｄ）

21．（2003辽宁）设，求函数的单调区间.

22．(2004全国)若函数f(x)＝x³－ax²＋(a－1)x＋1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围

23．（2005湖北卷）已知向量   在区间（－1，1）上是增函数，求的取值范围.

24．(全国卷III)已知函数，

（Ⅰ）求的单调区间和值域；

（Ⅱ）设，函数，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围．

关于极值和最值

25．（2005全国卷Ⅰ）函数，已知在时取得极值，

则=（B）．

（A）2（B）3（C）4（D）5

26．（2006年天津理9）函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f'(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点（　A）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

27．(全国卷Ⅱ)设a为实数,函数               

（Ⅰ）求f(x)的极值.

（Ⅱ）当a在什么范围内取值时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点.

28．（2005江苏卷）已知a∈R,函数f(x)=x²|x-a|

（Ⅰ）当a=2时，求使f(x)=x成立的x的集合；

（Ⅱ）求函数y=f(x)在区间[1,2]上的最小值.

29．（2006江西文理（17））已知函数在与时都取得极值．

（Ⅰ）求a,b的值及函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若对x∈[-1,2]，不等式f(x)<c²恒成立，求c的取值范围．

导数的几何意义

30．（北京卷）过原点作曲线y=e^x的切线，则切点的坐标为       ，切线的斜率为        ．（答案：(1,e)；e）

31．（2006江苏文理15）对正整数n，设曲线y=xⁿ(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a_n，则数列的前项和的公式是　　.

32．（2005福建卷）已知函数f(x)=x³+bx²+ax+d的图象过点P(0,2)，且在点M(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0.

 （Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；

（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间.

33．（2005湖南卷）已知函数

（Ⅰ）若b=2，且h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；

（Ⅱ）设函数f(x)的图象C₁与函数g(x)图象C₂交于点P,Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C₁,C₂于点M,N证明C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行.

34．（2005辽宁卷）函数y=f(x)在区间（0，+∞）内可导，导函数是减函数，且设是曲线y=f(x)在点（x₀,f(x₀)）得的切线方程，并设函数g(x)=kx+m

（Ⅰ）用x₀、f(x₀)、f'(x₀)表示m；

（Ⅱ）证明：当；

（Ⅲ）若关于x的不等式上恒成立，其中a,b为实数，

求b的取值范围及a与b所满足的关系.

35．（2005山东卷）已知x=1是函数的一个极值点，其中，

（Ⅰ）求m与n的关系式；

（Ⅱ）求f(x)的单调区间；

（Ⅲ）当x∈[-1,1]时，函数y=f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围.

4．新旧结合，推陈出新的原则

36．（2005江西卷）已知向量

.

是否存在实数若存在，则求出x的值；若不存在，则证明之.

37．（2003年新课程卷试题）已知常数a>0，向量.经过原点O以为方向向量的直线与经过定点A(0,a)以为方向向量的直线相交于点P，其中.试问：是否存在两个定点E、F，使得为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.

38．(2005全国卷Ⅰ)已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值．

39．（2006浙江理20）已知函数f(x)=x³+x²，数列{x_n}(x_n>0)的第一项x_n=1，以后各项按如下方式取定：曲线y=f(x)在(x_n+1,f(x_n+1))处的切线与经过（0，0）和(x_n,f(x_n))两点的直线平行（如图）．求证：当n∈N⁺时，

（Ⅰ）；

（Ⅱ）

5．适度创新，开发潜能的原则

高考数学创新试题的三大类型：

40．（06广东10）对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d)，

规定：(a,b)=(c,d)，当且仅当a=c,b=d；

运算“”为：；运算“”为：．

设，若，则（）．

（A）(4,0)（B）(2,0)（C）(0,2)（D）(0,-4)

41．（06陕西文、理12）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为:明文a,b,c,d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d，例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为()

（A）4，6，1，7（B）7，6，1，4（C）6，4，1，7（D）1，6，4，7

42．(2004北京卷) 定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列.这个常数叫做这个数列的公和.

已知数列{a_n}是等和数列，且a₁=2,公和为5，那么a₁₈的值为_______，这个数列的前n项和S_n的计算公式为_______.答案3，

43．（06全国Ⅱ文理16）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出_______人．

44．（2003年全国卷试题）在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB²+AC²=BC²”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则_______________________________.

45．（2002北京春招） 用一张钢板制一个容积为4m³的无盖长方体水箱，可用的长方形钢板有四种不同规格（长×宽的尺寸如各选项所示，单位均为m），若既要够用，又要所剩最少，则应选择的钢板规格是（C ）.

（A）2×5    （B）2×5.5    C．2×6.1    D．3×5

46．（2005北京卷）已知次多项式,

如果在一种算法中，计算（k＝2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法，计算P₃(x₀)的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算P_n(x₀)的值共需要

次运算．

下面给出一种减少运算次数的算法：（k＝0，1，2，…，n－1）．利用该算法，计算的值共需要6次运算，计算的

值共需要2n次运算．

47．（2005上海卷理21）对定义域是、的函数、，

规定：函数

（Ⅰ）若函数，，写出函数h(x)的解析式；

（Ⅱ）求问题（1）中函数h(x)的值域；

（Ⅲ）若，其中a是常数，且，请设计一个定义域为R的函数y=f(x)，及一个a的值，使得，并予以证明．