张景中     

    如果数学变容易了，学生高兴，老师省力，家长也会松口气，研究数学教育的专家自然举双手赞成。

　 　但是学校里教的数学，大都是经过了上千年或几百年反复锤炼的成果，还能变吗？

创造新的解决方法

    把数学变容易不是一个理论问题，而是一个实践问题：平面几何的证明题千变万化、题无定法，几乎已成为古今中外的共识。可是自从有了基于面积关系的消点法，就打破了这个传统成见，大量的几何问题的求解就变得容易了。几何不等式的证明能不能找到一般的方法？这在大师看来也是一大难题，可是自从有了降维算法，有了一个叫BOTTEMA的软件，上千个不等式就很快得到了证明。

    这些都是中国人的成果，是吴文俊院士开创的数学机械化研究方向所产生的成果。可见，创造出新的解决问题的方法是把数学变容易的途径之一。

    优化概念，改进定义方法

    方法能改进，概念能不能改进呢？数学概念都有严谨的定义，定义是数学推理的基本依据。定义改了，体系方法都会跟着变化，这是大事。比如，中学数学课程里对三角函数里的正弦的定义能改进吗？

    人们常认为三角函数难学，它既不是加减乘除，又不是开方，它是超越函数。有关三角的推导也是数学教学的难点。1974年，我在新疆教中学，发现学生学习三角比较困难，就开始研究如何把三角变容易。我发现，三角不但可以变得很初等、很容易，而且可以成为初中数学的一条主线，把几何和代数连在一起。张奠宙先生甚至说，三角里的正弦函数，可以在小学里引进---矩形用单位正方形去度量，结果得出长乘宽的面积公式。那么平行四边形的面积怎么求？自然是用单位菱形，同样可以得出平行四边形的面积是“两边长的乘积，再乘上单位菱形面积的因子”，原理完全相同。一个明显的事实是：单位正方形压扁了，成为单位菱形，两者的区别在于角A。A是直角，面积为1；A不是直角，面积就要打折扣。这个折扣是一个小数，和A有关，记作sinA（图1）。

    数学可以有不同的讲法。看清了问题的实质，就能把难的变成容易的，把高等的变成初等的，就能把过去曾经使成年人困惑的问题，变得孩子们都能容易理解。不考虑矩形面积公式，不用单位菱形，也能在小学里讲正弦。先问：一个等腰直角三角形，如果腰长为1，面积是0.5。进一步探索，如果这个等腰三角形的顶角不是90度，比如是60度，它的面积要打个折扣。多大的折扣呢？这可以测量出近似值。更精确的数值可以在计算器或计算机上查出来，它叫sin(60o)，约等于0.8667，这就引进了正弦函数。知道了正弦函数，就能解决许多实际的几何问题。如果问，这个0.8667怎么得来的，就引出进一步的数学方法。这样不仅教给学生知识，更重要的是教他如何提问题、如何思考、如何获取新的知识。

    比起传统的在直角三角形中用锐角的对边比斜边定义正弦函数，新的定义至少有3个好处：(1)更初等、更直观了。传统的定义依赖于相似形的概念和知识，几何学到一定程度才能讲三角。现在可以早讲三角，就能帮助学习几何。(2)更严谨了。传统定义中直角的正弦是说不清的，新定义中直角的正弦就等于单位正方形面积，就是1，这很清楚。(3)更一般了。传统定义中没有给出钝角的正弦，进一步的应用很不方便。新定义中，这个问题自然解决了。

    采用新定义，三角、几何、代数相互联系渗透，许多推导变得更加简捷清晰，初等数学会变得更容易。可见，优化概念、改进定义方法是把数学变容易的途径之二。正弦函数定义的改变，只是改变了它的几何模型，没有改变其数值，新的定义和传统定义是完全一致的、等价的。会不会有这样的情形，在概念上创新，也就是提出和传统定义不完全等价的定义，从而实现把数学变容易呢？

    与传统定义不等价的定义 　

    《数学家的眼光（2007增补版）》的增补部分讲了新概念的微积分，其中介绍了我国数学家林群院士提出的函数导数的新的定义方法，和传统的定义并不等价：传统的导数概念是在一个点处定义的，新的导数概念是在区间上定义的；传统的导数定义依赖于极限概念，要作很多准备，新的导数定义只用一个不等式，中学生能直接学习。     

    导数正则函数增，这样重要而基本的定理，在传统概念的基础上，两星期的课程还说不明白。许多高等数学教材中，干脆就说限于篇幅证明从略了。而基于新的定义，第一节课就能给出完全严谨的证明，证明方法是初等的，只用到中学的知识。由此可见，把数学变容易真是大有可为。

    把微积分变容易的故事并没有结束。最近发现，问题可以说得更简单、更直观、更自然，也更容易理解：微积分的经典案例是牛顿所考虑的计算运动物体的瞬时速度问题。这个问题涉及两个以时间t为自变量的函数。一个函数是S(t)，它表示在时刻t物体走过的路程。一个函数是V(t)，表示物体在时刻t的瞬时速度。牛顿要解决的问题是：如果知道了路程函数S（t），如何求瞬时速度函数V(t)？

    牛顿的想法涉及微妙的无穷小，引起了争论，使许多卓越的数学家困惑，这段数学史上的故事很多书都有叙述，此处不重复了。我们要思考的是，有没有比牛顿的想法更直观、更容易理解而又不会引起任何争论和困惑的思路？

    知道了路程和时间的函数关系S（t)，就可以算出从时刻t=u到时刻t=v这段时间走过的路程S(v)-S(u)，这段路程被这段时间v-u除，就是这段时间的平均速度。在数学上，S(v)-S(u)是函数在两点处的差，v-u是自变量在两点处的差，这个比值叫函数S(t)在u和v两点处的差商。

    我们要求的是瞬时速度，但知道的是平均速度。我们不但不知道瞬时速度的大小，甚至不知道瞬时速度的数学定义。只是从物理事实上，我们相信瞬时速度时时刻刻都是客观存在的。那么，瞬时速度和平均速度有何关系呢？如果是匀速运动，瞬时速度就是平均速度；如果不是匀速运动呢，瞬时速度时大时小，有时比平均速度大，有时比平均速度小。也就是说，不论在哪段时间上考虑，平均速度总是瞬时速度的中间值，任何一段时间上的平均速度，它不可能比这段时间中所有时刻的瞬时速度都大，也不可能比这段时间中所有时刻的瞬时速度都小，这个道理小学生也会明白。

    平均速度是函数S(t)的差商，瞬时速度是函数V(t)的值。平均速度总是瞬时速度的中间值，也就是说，在任何区间上，函数S(t)的差商总是函数V(t)的中间值。

    牛顿是天才，他一下子(这一下子就是10年！)看出无穷小区间上的平均速度就是瞬时速度，这个天才的判断使大家既佩服但又困惑。我们是平常的人，基于常识进行平常的推理，得出的结论十分平常：

    平均速度总是瞬时速度的中间值。有趣的是，从这个不言而喻的平常结论出发，很容易推出林群的不等式导数定义，同样能解决瞬时速度的计算问题。与牛顿方法不同之处在于，这里不再引起任何争论和困惑。

    和牛顿分享微积分创建者荣誉的莱布尼兹，所考虑的经典案例是曲线的切线斜率计算问题。从数学上看，和计算瞬时速度是同一个问题。莱布尼兹的想法和牛顿基本一致，都属于天才的判断。用基于常识的平常的推理，也可以得到同一个数学模型：一个函数的差商是另一个函数的中间值。

    微积分的另一个经典问题，是曲边梯形面积的计算问题。设图2中的曲线是函数g(x)的图象，也就是说，点x处的竖直线段的高度就是g(x)。从a到x这块阴影区域的面积也是x的函数，记为f(x)。知道了曲线的方程如何计算阴影面积，也就是知道了函数g(x)求f(x)，是一个古老的数学问题。

    面积函数f(x)和曲线代表的函数g(x)之间有何关系呢？观察图3，曲线仍然是函数g(x)的图象。从u到v这块阴影面积，是面积函数f(x)在u和v两点处的值的差，即f(v)-f(u)。如果把这块阴影区域截长补短变成面积相等的长方形，如图所示，长方形的高应当等于f(v)-f(u)除以v-u的商，就是函数f(x)在u和v两点处的差商。显然，它是g(x)在[u,v]上的中间值。从图上看，从u到v这段曲线，有时在长方形上边界之下，有时在此边界之上。简单地说：在任何区间上，函数f(x)的差商总是函数g(x)的中间值。

    求瞬时速度和求面积，表面上似乎无关的两个问题，数学模型是相同的：甲函数的差商是乙函数的中间值。计算瞬时速度是由甲求乙，是微分学的基本问题；计算面积是由乙求甲，是积分学的基本问题。

    牛顿和莱布尼兹发现了这两个问题的联系，所以被认为是微积分学的创建者。但他们都没有看出，两个问题有这样简单直观的同一个数学模型。接下来，不用极限也不用无穷小，只要对有关的函数设置一些合理的条件，就能引出导数的概念，就能简捷严谨地证明微积分学的一系列基本结果。这样，更简单直观了、更严谨了、更一般了。

    把微积分变得容易一点，上世纪50年代学微积分时就想过，80年代教微积分时又想，断断续续五十多年没想清楚。受到林群定义的启发，最近想到了这个模型，借此机会写出来和大家讨论，也向林群先生、向一同热烈讨论过的张奠宙先生致谢。

    （《数学家的眼光（2007增补版）》，张景中著，中国少年儿童出版社2007年8月出版）