根据美国数学会消息，日前通过最大梅森素数互联网搜索计划(Great Internet Mersenne Prime Search －GIMPS)，发现最大的素数2^30,402,457 – 1，该素数有9百多万位，它还是第43个梅森素数(即可以表示成2^p – 1的素数)。该项发现是由中密苏里大学数学系教授Curtis Cooper和艺术与科学院副院长Steven Boone领导的一支研究小组完成的。

梅森数(Mersenne numbers)

形如M_p=2^p－1（其中p为素数）的数被称为梅森数。为使M_p为素数，P为素数是必要条件，但不是充分条件。如果M_p为素数，则称之为梅森素数。1644年，梅森在一本著作（《物理一数学探索》）的序言中提出，当P＝2，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，2^p－1是素数，对于257以内的其他素数p，2^p－1都不是素数，但在当时，人们只知道p＝31以前的7个梅森素数的证明（素性证明）。1772年，欧拉才证明M₃₁是素数。M₆₇和M₂₅₇不是素数，1903年科尔指出

M₆₇＝2₆₇一1＝193707721×761838257287。

梅森指出的数中，M₆₁， M₈₉， M₁₆₇也是素数。人们发现，这种数有些很有趣的性质，例如每个形如 －1的素数对应一个偶完全数等等，于是人们开始有意识地寻找这种素数，为了纪念提出者把它们命名为梅森素数，一般的 －1形数命名为梅森数。

直到19世纪上半叶，人们仍然只证明了梅森提出的前8个梅森素数。19世纪后半叶，E．拉库斯提出了一个判断M_P是否为素数的方法：若有△＞0使（     ）＝1且在二次域Q（ ）中有一个单位数ε适合N(ε)＝－1，则M_P为素数的充分必要条件是 （mod M_P），式中 为ε的共扼数。用此法，人们又证明了M₆₁，M₈₉， M₁₀₇， M₁₂₇为素数。

在电子计算机投入应用之前，人们就证明出上述由从M₂到M₁₂₇这12个梅森素数，从上面举的M₆₇的分解式可以看到P值增大时，M_P将迅速增大，使判断计算出现困难。1930年，D．H．莱默尔改进了拉库斯的方法，提出如下判别法则：设p为一奇素数，定义序列

L₀＝4，

…… ，

L_n+1＝(L_n²－2)2^p－1(n≥0)

则2^p一1是素数的充要条件是L_p-2＝0。电子计算机出现后，人们利用这一准则，使寻找梅森素数的工作又进行下去。实际上寻找大素数的工作就是寻找梅森素数，因为2^p－1这一可构造性的数无疑缩小了寻找的范围，现在所知道的大素数多是梅森素数，这也是研究梅森素数的意义之一。关于梅森素数，有下述两个著名猜想：有无穷多个p使为素数；M_p无平方因数。现都未得到证明，后者的一个结果是L．J．沃伦于1967年证明的：若素数q满足q² | M_p，则2^q-1≡1（mod q²）。梅森数在代数编码理论中亦有应用。

现在已知的最大的梅森素数为2^3021377-1，一共已知37个梅森素数。1983年，人们已证明，在小于2⁶²⁹⁸²的范围内，只有27个梅森素数，它们都是已知的。1998年已知的梅森素数如下表。

从第35个梅森素数起，其证明都与互联网有重大的关系。