高中数学新课程中数学决策的教学

宋寿生（福建省宁德市教师进修学院     352101）

我省从去年进入高中课改。本次课改要求教师转变数学教学观念，特别是在发挥学生主体作用、强调学生独立思考、开展探究性学习、加强学习中的交流互动等方面提出了全新的要求。然而，观念的变革需要一个过程，学生的探究、交流等活动也需要平台。当前课堂教学中还较普遍地存在着满堂灌、题海训练等现象。寻找课堂教学改革的突破口，切实有效地帮助一线教师变革教学方式，是我们基层教研员必须认真思考的问题。经过一段时间的思考和实践，我们发现数学课堂中加强数学决策教学是一个比较理想的改革抓手。为此，我们宁德地区开展了“高中数学新课程中数学决策的教学”实验研究。本文阐述这一实验的理论构想。

一、数学问题解决过程中的决策活动

在教学大纲中，教学目标分为了解、理解、掌握、灵活运用等四个层次；在课标的行为动词表中，与“灵活运用”相对应的是“知识与技能”目标领域“掌握/应用/迁移”水平的行为动词“决策、解决问题”［1］。对大多数教师而言，数学学习中的“决策”是一个认知的空白，要更好地把握新课程的教学，就要先搞清楚“决策”的含义及其教学意义。

1．决策的含义

在管理学中，决策是指人们为了达到一定目标，在掌握充分的信息和对有关情况进行深刻分析的基础上，用科学的方法拟定并评估各种方案，从中选出合理方案的过程［2］。在数学学习中，为了解决数学问题而进行的决策活动，就叫做数学决策。

借鉴管理学中的研究方法，根据学生对问题情境的把握情况，可将数学决策分为确定性决策、风险性决策、不确定性决策三种类型。

如果学生已经知道若干确定能够解决问题的方法规则，只要从中选择一个最合适的，这样的决策就是确定性决策。

如果学生第一次遇到某个问题，没有线索明显的方法规则，那就需要通过探索来拟定可能能够解决问题的方案（即策略），这就是不确定性决策。

通过不确定性决策，学生得到若干可能解决问题的策略，那么此时的决策活动就是从策略之间选择好的策略，不确定性决策就变成了风险性决策。

在一个成功的解决问题的过程中，可能包含多次决策，随着所选策略的展开，不确定性逐渐减少，确定性逐渐增加。但并不是解决任何一个数学问题都要从不确定性决策开始。

有效的迁移通常发生在由不确定性决策向风险决策转变的时候。在这个过程中，学生把一些已知的方案应用到不确定性决策的问题情境中，作为可能的策略来探索。提取或拟定策略的线索，大致有几个来源：根据基本概念对相关数学结构的本质特征的认识、根据某种数学思想方法对问题所做的基本判断、在探索过程中产生的新信息、相关经验等等。

2．决策的教学意义

如果说问题解决是数学教学的核心内容，那么决策就是这个核心中最关键、最活跃的成份。决策的教学意义首先就在于此：它是隐藏在茫茫题海之中通往问题解决的一条必经之路。

另一方面，决策是一种自主的思维活动，它能真正地体现决策者的主体性；而且在数学决策的活动序列里可以看到抽象、概括、判断、推理、运算、想象、构造等各种各样的数学活动。因此数学决策是一种充分体现主体性的数学活动的组织方式。这就决定它的第二个教学意义：以一种自主活动的方式组织教师希望学生进行的数学活动。

二、重心后移——当前数学决策教学的某些现状分析

在实际的课堂教学过程中，由于认知不足，数学决策活动并没有得到应有的关注。大多数教师安排给学生进行决策活动的时间，尤其是进行风险决策与不确定决策的时间很少；在课时较紧的情况下，往往是将学生决策活动的时间调整给其他教学活动，而不是相反。

在数学教学中，数学问题在两种场合出现：首先，最明显的是数学习题（有的作者认为数学习题中通过确定性决策就可以解决的不能称为“问题”，本文对此不作详细区分）；其次，教材在组织数学知识的过程中，经常提出一些问题，通过问题的解决来构建数学知识。对在这两种情形中数学决策教学的一些现象分析如下：

1．习题教学中的“策略规则化”与“规则机械化”

习题可以根据与之相应的数学决策的不同分为两类，它们有不同的教学意义：第一种习题是只要通过确定性决策就可获得解法的习题，其教学意义不在于数学决策，而在于巩固基础知识、熟练基本技能，可称之为技能型习题；第二种习题是必须通过风险性决策或不确定性决策才能获得解法的习题，其教学意义是让学生在掌握一定的基础知识与基本技能的基础上学会数学决策，获得运用基础知识与基本技能来解决数学问题的能力，可称之为策略型习题。

习题的重要性不言而喻，但许多教师并不关注其中的决策活动，将习题教学等同于解法规则教学，这导致课堂教学中的“策略规则化”现象：一个策略型的习题，通过调整它的条件设置、向学生提供策略铺垫甚至方法铺垫，使相关的决策行为由不确定型决策变为风险型决策，再变为确定型决策，这样就把策略型习题变成技能型习题，把策略变成规则。

在“策略规则化”之后，课堂教学还会进一步变成“规则机械化”。首先，教师可能在规则适用条件的讲解、模式识别的训练等方面不到位，导致学生不能正确地引用规则；其次，规则所含中间步骤的条件可能在训练中被合并而“自动化”，使学生不能有效关注条件的变化；第三，在变式训练的设计中存在缺陷，比如教师可能没有从数学思想方法角度对规则作出合理的概括与抽象，没有按思想方法线索来设计变式习题，这使学生所学规则不能有效地正迁移。在这种情况下，学生大多根据题目的非本质特征机械地套用命题、公式或方法，得出“想当然”的结论。

“策略规则化”表面上看是直接、全面、详细地教给学生解题的方法，实际上它占用了数学决策的教学资源，导致决策的学习事实上只能在学生课外解答课辅习题时进行，缺乏教师系统的规划与指导，其效果取决于学生原有的思维习惯与学习能力。这种在关键的决策能力的形成上缺乏有效的教学规划与支持、放任其“自生自灭”的教学状态，造成“好的学生不教也会，不好的学生再教也不会”的现象，使得整个教学对决策能力的获得显得毫无意义。

2．知识教学中的“建构接受化”与“基本技能最小化”

课本提供了核心知识及其结构，教学中教师必须对课本进行教学法加工。而在加工过程中可以体现出很大的教学观点的差异性。有的教师为了给“规则化”的教学争取更多的时间，采取让学生机械记忆的方式记住概念、命题与公式，在极端情况下，甚至把教材设置的那些帮助学生理解的素材和过程都省略而只给出结论，我们称之为“建构接受化”。

在课本知识被“建构接受化”的同时，课本里的另一个内容：随堂练习也受到影响。随堂练习都是技能型习题。从认知心理学的角度来看，基本技能不熟练的结果是造成在解决问题的过程中学生把大量的注意力花在基本的运算、推理与构造上，而无法从策略的层面去考察问题、作出判断。但许多教师不了解这一点，认为随堂练习与一般习题或考题相比太过于简单，根本没有训练的价值，于是把相应的时间用在“策略规则化”、“规则机械化”了的规则教学上。这种处理方式可称为“基本技能最小化”。

参照认知心理学对知识的分类，学习成果的分级序列由陈述性知识到基本技能到一般规则到高级规则，其中规则是问题解决的结果，即决策活动的结果［3］。现在把主要的教学资源用在规则和高级规则上，即在这个序列的最后面部分，把前面部分人为地简化，这样的教学策略可称之为“重心后移的教学策略”，相应的教学模式就是“重心后移的教学模式”。在这种教学模式中，数学决策的教学被排除在教学规划与设计之外，被严重忽视。

三、重心中置——新课程中数学决策教学的教学策略与模式的探索

针对“重心后移”进行逆向探索与设计，我们可以得到“重心中置”的教学模式，其主要教学策略是“决策支撑”和“三基并重”两个方面。

1．决策支撑

在重心后移的教学模式中，课堂教学的重心落在高级规则的讲与练上。与此相对应的逆向设计，就是把课堂教学的重心从高级规则往前移。

如果移到陈述性知识，那么以陈述性知识为主的数学教学，将使它失去“思维的体操”的基本属性，变得毫无意义；移到基本技能，仍然不能保证数学决策的教学，并没有克服“重心后移”所带来的弊端。但是将重心移到数学决策，在课堂上以学生的决策活动来支撑教学，是否使“双基”被淡化，规则被削弱，导致“双基不保，应试无力”的结局？首先，比如按人教A版教材的“问题引导”的教学设置［4］，那么课堂教学的重心就自然落在数学决策上。这种设置以决策活动为支架来实现知识的建构，它的根本目的就在于强化双基，注重过程，实现三维目标。教师如果得其精要，就不用担心“双基”被淡化的问题。其次，重心移到数学决策必然在表面上导致规则的教学被削弱，但二者之间正是所谓“鱼渔相权”的关系，何者为重是很清楚的。由此看来，从决策入手，正是强化双基、把握规则的解决之道。

因此比较合理的作法是将重心中置到决策活动上，在学习决策的同时以决策活动为框架组织教师希望学生进行的数学活动，即“决策支撑”的教学策略。

2．三基并重

“决策支撑”提供了课堂教学的活动支架，那么教师的课堂教学中对知识成分的关注主线是什么呢？我们提出“三基并重”的设计。

双基的原始含义，是指基础知识与基本技能。在教学过程中，教师们担心仅有基础知识与基本技能不足以应对考试，而且从理论上，这里也缺少一种能够概括数学能力的要素。但是，如果强调决策或规则，岂不又降低了双基的地位？为此，我们想从决策中寻找一种要素，把它与双基整合在一起，来解决这个问题。

在上文我们提到，数学思想方法在数学决策中起到一个非常重要的作用：它使学生能够对问题作出一个基本的判断，提示可能解决问题的方向，进而使学生很快拟定策略，使不确定性决策变成风险性决策。

数学思想方法可以看成一种元知识成分，其中的“思想”是一种概括性的知识，对数学知识与数学活动中的特定内容作出本质的概括；而“方法”则是与这种“本质的概括”相对应的基本活动策略。二者可以看作同一内容的陈述的一面与程序的一面。

由此，数学思想方法的重要性与基础性并不亚于基础知识与基本技能；另一方面，元知识与基础知识有着本质的不同，基本活动策略与基本技能也有着本质的区别，因此也不是“双基”中已经概括的要素，所以，将三者并称为“三基”。在新近流行的概念中，基本数学思想方法与“通性通法”相通，这也方便于向老师诠释。

“三基并重”还有一个重要的方面：这三者组成一个认知系统，决定了学生数学决策能力的高低，因此也为观察学生的学习状态提供了一个指标体系，在实践中很有用。

在决策支撑与三基并重的教学策略之下所形成的教学模式，其课堂教学重心放在基础知识、基本技能与规则、高级规则之间的数学决策上，可称之为“重心中置”的教学模式。

四、“重心中置”教学模式的设计程序与原则

“重心中置”的教学模式粗略的设计程序与原则如下：

1．突显核心，消枝强干

这里作为核心与主干的首先是基础知识与基本技能。教材在这方面已经根据课标作了严密的筛选与精心的配置，在教学中除非发现确实不合理或明显错误的地方，否则原则上要理解教材的设置意图，不随意补充多余的知识与技巧。

核心与主干的另一方面是基本数学思想方法与基本数学决策。根据目前的教材，有三种情况：

第一种，多数教材并不进行专门的设置，而是隐藏在教材的知识序列之中。这时，在教材上就只能看到按一定的逻辑序列铺陈知识，看不到明显的思想方法的线索与提示，需要教师在充分理解课标的基础上，形成自己的教学规划，从更高的视角来把握和使用教材，在教材的基础上进行补充设置。

第二种，有的教材对思想方法有一定的概括与陈述，那么教师则要针对思想与方法的技能与策略的一面，设计学生的数学决策活动。

第三种，少数教材对基本数学决策活动进行规划与支持，如人教A版的教材，在基础知识与基本技能的学习中采取了以问题来引导学习的设置，其问题设置规划了学生通过相应的数学决策活动来获得知识。那么教师的任务就是在理解教材设置的基础上，根据学生的具体特征来改进问题设置，设计活动组织方式与学习支持策略，提高教学效率。

2．问题引导，数学活动

设置一系列的问题来引导学生学习，其基本思路是以问题引导决策，在决策的思维序列中组织希望学生进行的数学活动。正如人教A版教材所反复强调的，构建恰时恰点的问题（系列）是有效教学的基本线索，“问题引导学习”应当成为教学的一条基本原则，有了问题，学生有效的独立思考、自主探究、合作交流才能有平台。这就要深入研究如何提问的问题。一个好的问题，要“有意义”“适度”“恰时恰点”。

有意义，就是问题要反映当前学习内容的本质；适度，就是提问要把握好“度”，使学生处于“跳一跳摘果子”的状态，达到“道而弗牵，强而弗抑，开而弗达”的境界；恰时恰点，就是要在学生处于思维困惑时提出问题，使问题能够启发和引导学生的数学思维活动。具体的，可以从数学知识发生发展的关节点上、数学思想方法的概括点上、学生数学思维的症结点上等提出问题。［5］

3．以学为主，收放适度

在问题所引导的数学活动过程中，应该如何处理好教师的讲解与学生的决策活动之间的关系呢？

我们把以教师的讲解与指令为主导的课堂控制状态叫做“收”，把以学生的决策为主导的课堂控制状态叫做“放”，要更好地组织“问题引导”的课堂教学，必须讲究“收放适度”。

在“收”的教学策略中，教师通过启发式讲解，给出意义明确、逻辑条理清晰的知识。在这种情形下，教师向全体学生传递统一的信息，而学生则同步建构信息的意义（即理解教师的讲解），或按教师的指示进行思维操作，并将操作的结果与教师的提示相对照，以此来建构教师所要传授的规则或某种结论。在课堂控制方式上，“收”体现为教师对单一“教”的进程的控制，即主要对教师本人的讲解、演示过程进行控制。这可以用来讲解概念清晰、条理清楚的陈述性知识与操作规则，用来设置问题情境、铺垫策略与方法、整体调节课堂状态、统一反馈学习成果。

在“放”的教学策略中，学生在所设置的问题情境中独立思考、合作探究、自主决策，教师则根据学生的具体情况向学生提供随机介入的支持。在这种情形下，学生从自己的关注点出发，依据自己所能想到的知识与信息，以自己的方式来思考问题、构造方案，从自己的角度与同学或老师进行信息交流，作出自己的决定与选择，获得决策体验，并用自己的经验来理解教师所说的抽象而又灵活的思想原则。在控制方式上，“放”体现为对学生“学”的多进程控制。学习的进程从客观现象上说，一个学生就有一个进程；但是，教师可以基于对学生的了解，通过有效的观察、恰当的组织、及时的支持，可将全班学生的学习调整为若干个（一般是二到四个）典型的学习进程来把握。对于既抽象而又有很强灵活性的思想方法、个体差异性很大的策略与决策这一类有很多侧面的、在学习过程中体现出很强的建构性的知识，则要采取“放”的教学策略。

“收”与“放”适用于不同的学习内容与学习目的，在一个组织良好的教学过程中相辅相成。但从教学目标来看，三维目标的实现有赖于在多进程的过程中个人经验的形成；又由上文所述，数学学习的重心在于数学决策，所以，在学习的单一进程与多进程、知识的陈述的一面与程序的一面中，重点在多进程与程序的一面。这在客观规律与价值取向上都必然体现为“以学为主”的教学状态。其中的度，则是在充分把握教学目标的情况下，进行教学过程的最优化设计。

4．全盘统筹，螺旋上升

这个问题又要回到对文章开头所说的“灵活运用”的理解上。从逻辑的角度来看，只要相关的知识都已学过，那么马上就可以在相应的习题教学上进行“灵活运用”的解题训练，实现一步到位的学习效果。但是，从认知发展的角度看，“灵活运用”必须有两个条件：首先是相应的基本技能高度熟练甚至自动化，因为只有这样学生才有可能腾出工作记忆用在相应的决策活动上；其次，学生必须已经形成某种较好的决策模式或经验、具备一定的策略积累，也即达到一定的决策活动水平，否则学生每次解题都将面临没有线索的不确定性决策，这对学生来说构成难以克服的困难，导致学习没有进展。这导致了直线式前进的逻辑序列与螺旋式上升的认知序列的矛盾。

新课程的课标与教材已经充分意识到这个问题，对学习序列做了“螺旋式上升”的设置：知识围绕认知发展的主轴作螺旋式的组织，在每一螺旋之内又保持严谨的逻辑体系。也许现有教材的“螺旋式上升”的设置还有不够合理的地方，但将这种设置重新调整到单纯的直线式逻辑序列设置，则是不可取的。教师只有在充分理解课程标准与教材的基础上，根据学生的具体情况作出更适合本班学生的螺旋式上升的安排，将最终的教学目标分成几个螺旋来规划，全盘统筹，循序渐进，才能取得更好的教学效果。

参考文献

［1］《普通高中数学课程标准（实验）》，人民教育出版社，2004

［2］《管理学（修订版）》，郭跃进，经济管理出版社，2003,4

［3］《教育科学分支科学丛书·教育心理学》，吴庆麟，人民教育出版社，2001.5

［4］章建跃：高中实验教科书总体介绍（讲座稿），2006.8

［5］章建跃：高中课标教材经验交流会总结（海南）（发言稿），2007.1