《数学精神与方法》的设计与教学


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《数学精神与方法》的设计与教学

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《数学精神与方法》的设计与教学

作者：杜乃林文章来源：数学与统计学院副教授、硕导点击数：更新时间：2007/11/12 16:53:03

近年来，通识教育作为一种教育理念在我国教育界得到了越来越多的关注和认同，其研究和实践逐渐成为了我国高等教育改革发展的重要方向。通识教育是打破专业界限、面向所有大学生的素质教育，其目的在于向大学生展示不同学科领域的内蕴文化和背景文化（如某一学科的思维模式、研究层面、学术精神、发展历程、应用价值等超专业范畴）。按笔者的理解和认识，专业教育与通识教育沿纵横两种不同的取向——纵向学科之专业、横向学科之文化——在共筑更为合理的人才培养体系，而唯有纵横两种取向的教育方式合理布局、综合实施才能富有成效地培养出素质高且适应性强的创新型和复合型人才。
    笔者有幸参与了武汉大学通识教育的课程建设系统工程，负责《数学精神与方法》课程的建设与教学。本文介绍笔者讲授上述课程的指导思想、实践体会和经验总结，意在与关注通识教育的广大师生交流思想和认识，以进一步完善这一课程的建设与讲授。

    《数学精神与方法》设计方案
    教学目的
    在设计《数学精神与方法》这门通识课时，我们的初衷是：这门课应该打破传统数学教育沿少数几条经典线索纵向灌输的模式，从宽视野、多线索的横向视角（思想层面、逻辑架构、应用景观、研习策略、学术大师、发展史实、固有的文化艺术氛围，等等）选择教学材料，以期达到引导学生去品味数学的思想、方法、精神及其价值的目的，并实现启发其心智、开阔其眼界、激发其数学感觉和兴趣的效果。在施教方式上，首先，改进“课堂灌输——课后复习——考试闯关”的传统程式，使之适合通识教育的教学要求和情况；其次，运用先进、灵活、多样的教学手段和工具，确实提高教学效率；第三，加强与学生之间的交流与互动，使学生在学习方法和学习策略上得到及时的指导。
    按上述初衷设计的教学内容和施教方式经过两轮教学实践后，我们最后将《数学精神与方法》的教学目的定位在：它不能讲成数学史、数学哲学、数学模型或数学实验，也不能讲成数学科普或杂谈；它要着眼于讲出数学的统一性、超越性与美，并能引领学生提炼出数学精神的内涵，以深刻感受数学精神作为理性精神所独有的价值与意义。
    设计方案
    《数学精神与方法》的教学内容设计了五章，它们是
    第一章（3学时）数学是什么？
    第二章（9学时）有限无限纵横谈
    第三章（9学时）运算与迭代的威力
    第四章（6学时）拓扑眼光看世界
    第五章（3学时）数学的结构与统一性
    以下分章介绍设计思路：
    第一章  数学是什么？
    数学本身是一个历史的概念，数学的内涵随着时代的发展变化而变化发展，给数学下一个一劳永逸的定义是不恰当的；因此，这里我们只能从历史的角度介绍数学的种种描述。本章的教学目的在于使学生对数学概貌有一个初步认识，对数学发展史有一条简明线索。
    第二章有限无限纵横谈
    有限与无限是整个现代数学的一对基本矛盾，有哲学、逻辑和自然科学的深刻背景；这一对矛盾在数学中的内涵、地位和意义是本课程打算阐释清楚的基本内容之一。为了使讨论不显得空泛生硬，我们是围绕着怎样严格定义自然数这个人们最熟悉的数学对象展开讨论的。在这样的讨论过程中，第三次数学危机的历史画卷和现代数学基础的逻辑架构呈现在学生的面前；重要的是，唯有在数学根基的逻辑架构下，有限与无限的特征、地位和意义才能凸现出来。
    第三章运算与叠代的威力
    数学的威力来自哪里？要回答这一问题就考察考察数学的运算和叠代吧。本章介绍：1）通过简单的加、减、乘、除四则运算，怎样实现“数与形的统一”，并介绍第一次和第二次数学危机与“数形统一”思想的历史渊源；2）通过简单二次函数的重复叠代，怎样产生“周期”轨道、“分支”现象和“混沌”现象，同时简介混沌理论的著名成果；3）通过简单图形的重复叠演，怎样产生分形图样，并简介分形维数的概念。本章的目的在于展示数学的威力和超越性，展示数学中无限概念的价值与美。
    第四章拓扑眼光看世界
    这一章介绍拓扑学的基本观念（拓扑空间、连续映射、拓扑群、拓扑同构、拓扑动力系统、拓扑共轭等）及其几何、物理背景，并用这些基本观念探讨空间、时间和运动的数学模式。这里是以趣谈的方式展开讨论的，目的在于调动学生的直觉、激发其批判精神、提升其数学感觉和兴趣。
    第五章数学的结构与统一性
    “数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正在于各个部分之间的联系。”数学大师希尔伯特（D.Hilbert）如是说。本章介绍了布尔巴基学派关于数学统一于结构的观点及其形成过程和深远意义，展现了在数学整体统一性上具有核心地位的四大基本结构——序结构、代数结构、拓扑结构和测度结构。
    那么，何为数学精神？它作为科学精神有怎样鲜明的特点？听完整个课程的学生会对这些问题有自己的阐释，我们希望他们通过阐释数学精神来总结自己的学习所得和体会。
    怎么教？
    一门课的教学过程总有课堂教学——课下辅导——成绩考核三个必要的环节，而教学目的的实现关键在于课堂教学。我们的课堂教学采用“讲解+讨论”的模式进行，以多媒体课件来提高时间的利用效率，在30学时内完成上述五章内容的讲解。笔者主张鼓励学生课堂上大胆提问，以积极投入的态度听讲和讨论。因此，上述各章内容在讲解时，老师有激情，学生有感觉，讲解与讨论相铺相成，师生间的共鸣盈溢课堂。
    我们还用一次课时间（三学时）来总结所讲内容，并隐含地从以下三方面阐释数学精神：
    （1）“万物皆数”是毕达哥拉斯学派的基本信条。尽管这一观点人们今天看来是不以为然的，但是，它却体现出最为本质的数学精神，那就是：数学在刻意追求真理表示的抽象性、精确性和统一性——人类思维最为可贵的科学品质就是追求这种理性的高度概括性和广泛普适性，追寻理性带给我们的心灵单纯。
    （2）集合论的创造者康托尔有句名言：“数学的精髓在于它的自由。”崇尚学术自由和思想自由，并坚持真理的客观性和严谨性是最为宝贵的数学精神。这一精神在我国现今的学术界和教育界显得尤其珍贵，应大力倡导和弘扬。创新需要一颗自由的心灵。
    （3）“数学是无限的科学”——这是全才数学家外尔（H.Weyl）的名言。回味这句话就会使人感悟出一种追求超越的数学精神，确切讲就是：人类心智在顽强地追求达到超越现实存在、超越流行观念、超越固有信条、超越自身局限性的思想境界。
    基于以上对数学精神的认识，我们说：“数学是美丽的，她的美丽来自追求心灵的单纯、自由和超越。”
    重要的是让学生从通识课《数学精神与方法》的学习过程中认识和感悟到这一点。

    教学实践及体会
    笔者在2004年对通识课《数学精神与方法》进行了首轮教学实践，至今这门课已教过六轮。以下是有关情况介绍和个人随想。
    选这门课的学生一般在200人左右，来自武汉大学的几乎所有院系。学生来源广泛，对通识课的看法和要求颇具代表性。他们对《数学精神与方法》要讲的话题抱有较强的好奇心和兴趣。因此，不仅课堂上总有学生举手提问，而且每一讲下来，都会有几位学生围着我不愿离去；他们愿意与我随意地、无目的地交流和讨论问题，气氛积极而热烈。这种课上、课后师生之间的互动是对课堂讲解的一种有益的补足，我在整个教学过程中始终保持了下来。
    我注意到，学生普遍对数学教育过程中自己始终处于被动盲从、疲惫应付、难以自信的状态甚为不满，渴望找到学好数学的捷径或者教师能改进教学方法，并希望了解数学的全貌和数学所揭示的奇异现象。学生们对数学是充满热情和期盼的，他们因此对《数学精神与方法》这门课抱有拯救自己摆脱数学学习苦恼的过高期望。他们共同的问题是：
    1）对数学的整体和特点缺乏了解和认识；
    2）在数学学习中，没有总结梳理知识系统和刻意把握思想要点的习惯；
    3）对数学感觉、数学能力和数学精神没有深入而系统的认识。
    因此，我逐渐明确了这样一种讲课方略：把数学课堂营造成数学感觉相互传递的场所，使论及的数学问题，无论多么抽象和难懂，都能找到直觉的依托，并通过直觉勾画出解决问题的脉络；然后，数学问题的求解要点和难点写在了黑板上，而细节则留给学生课下去处理；最后，数学联想是很必要的，要不失时机地向学生揭示数学思想方法的统一性和超越性。说到底，学好数学是没有捷径可走的，我们数学教育者所要做的是精心培育学生的数学心智。
    课程讲完后，学生有些什么反应呢？
    一位文科学生这样写到自己的感触：“作为一个地道的文科生，从小学开始，我对数学抗争了十三年。一直幻想没有数学，我的日子就可能像天堂。对数学的无奈与反感，一直到大学上的唯一学期的高数时达到了顶峰……我终于逃出了梦魇——再也不用学数学了。”
    “然而，在本学期伊始选课时，我依然选了《数学精神与方法》，当时的心理现在想来亦不甚了了。我想，是学数学时间长了有了感情，还是因为一颗永不屈服的心？”
    “非常坦然地，我还是听不懂。但我竟然有比专业课更少的缺勤记录！因为我看到了以前从未看到过的东西——”
    “一种精神，无可否认的一种精神！……”
    “数学亦可以这般美丽，而老师的授课风格在我所见之中亦是难得…… 我希望老师以后的课程能不能讲得更浅显一些。这样，我可能更易领略老师的思路吧！”
    “最后一堂课对我一代人的希冀很让我激动。我想说，谢谢老师。”
    “我至少学到了一种执著与专注的美……”
    一位理科学生这样写道：“数学想告诉我什么？她的美丽在何处？在过去的一年里，在学习数学分析和线性代数两门基础课中，我处于一种迷惘的境地……”
    “今年大二开学，有幸选中了全校公选课《数学精神与方法》，使我在迷惘之中仿佛找到了一线光明，给我继续往下学的信心。有一点可以肯定，数学背景知识知道多了，对整个数学体系有了初步了解。因此，我对自己所处的位置逐渐有了较为清晰的认识，并获得了一种较以前大相径庭的感觉。感谢老师，在别的地方我学不到这些专业以外的东西，也感谢您能让我们知道自己的定位；这对我们来说，是不可或缺的一次经历……”
    以上所述学生反应是有代表性的。
    对我们国家的数学教育，笔者像这些大学生一样是有颇多切身体验的。我是学数学的，小学-初中-高中-本科-硕士-博士，我的整个学生生涯始终在学数学，现在仍离不开“学”这个字；我又是教数学的，有主讲多种数学课程的经历，已教了18年，今后将继续教下去。作为一名数学教师，我由心底想呼出一种声音：
    我是一个被数学“改造”过的人，我愿我的学生成为改造数学的人！

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