| 【数学文化】当我们在谈论极限的时候，我们在谈论什么？
17世纪下半叶英国数学家牛顿（Issac Newton，1642-1727 ）、德国数学家莱布尼兹在直观无穷小量基础上创建了微积分，极大推动了数学的发展。
在过去，微积分解决了许多初等数学无法解决的问题，显示了自身的非凡威力。这一时期，数学的发展空前繁荣。
这一时期的数学家在几乎没有逻辑支持的情况下，把微积分应用于天文学、力学、光学、热学等各个领域，并获得了丰硕的成果。但他们大多数人包括两位创立人都对此学科“直观无穷小量”的基础概念不满意，感觉含混，证明不充分。其中对有缺陷的基础最强有力的批评来自一位非数学家，这就是唯心主义哲学家贝克莱主教。他坚持：微积分的发展包含了偷换假设的逻辑错误。 牛顿在1704年发表的《曲线的求积》中计算了X的三次方的导数（他当时称为流数）。牛顿的方法意译如下：在贝克莱看来，偷换假设的错误是非常明显的。在论证的前一部分，△x是非零的，而在后一部分，他又被取为零，这就是著名的“贝克莱悖论”。我们现在知道用极限处理一下，这一困难和缺陷可以克服。但当时即使是数学巨匠欧拉也不能给出合理的解释。因此在18世纪结束之际，微积分和建立在微积分基础上的其他数学分支的逻辑处于一种完全混沌的状态之中。进入19世纪，数学陷入更加矛盾的境地。虽然它在描述和预测物理现象方面所取得的成就远远超出人们的预料，但是大量的数学结构没有逻辑基础，因此给人的感觉是“数学不能保证是正确无误的”。这一时期被人称为是“第二次数学危机”。第一个为补救提出真正有见地意见的是达朗贝尔。他在1754年指出，必须用可靠的极限理论代替当时使用的粗糙的“直观无穷小”理论。但他本人未能提供这样的理论。最早使微积分严谨化的是拉格朗日，但他也因以代数方法为工具未能解决微积分的奠基问题。分析学的奠基人公认是法国多产的数学家柯西。柯西在数学分析和置换群理论方面做了开创性的工作，是最伟大的近代数学家之一。他在1821~1823年间出版的《分析教程》和《无穷小计算讲义》是数学史上划时代的著作。在书中他给出了精确的极限定义，然后用极限定义了连续性、导数、微分、定积分及无穷级数的收敛性。这些定义基本上就是今天我们课本中使用的定义，只不过现在写得更加严格一点。 |
