刘徽的贡献

　　《九章算术》是中国古代最早的著名数学专著之一，它是由许多数学家合作编写，并经过几代人的修订改编，最后完成于西汉末年，距今已有2000多年了，书中计算体积的公式以现在的表述方式是V=4.5R^3.其圆周率取的是3.375。按照这个公式来计算球体体积，误差实在太大了。过了200多年，即公元263年前后，刘徽在给该书作注解时，发现这个公式存在问题。

　　刘徽是中国古代最优秀的数学家之一，他生活在三国时期的魏国，有关他的生平事迹和生卒年代等情况，现代人们知道的很少。他在反复研读《九章算术》的过程中，发现了很多不尽如人意之处，便决定对该书作一个详细的注解。他获得的许多重要的数学成就都包含在这些注解当中。此外，他还研究过天文、历法，从事过度量衡的考校工作。

　　当刘徽发现了球体积公式存在着过大的误差后，便决心推算出精确的公式来。他先是用两个半径都等于R的圆柱面，让其轴线互相垂直并相交，于是，这两个圆柱面的公共部分正好把半径为R的球体包含在内，这个公共部分的外形就像一个既圆又方的盒子（如右图），刘徽给它起了一个名字，叫做“牟合方盖”。两个对接的烟筒在拐弯处的形状就像牟合方盖的一个角。然后刘徽想，若用一个与底面平行的平面去截它们，那么球的截面肯定是圆，而牟合方盖的截面刚好是一个正方形；无论截面高低如何，其形状只不过是大小有所不同罢了。

　　假定圆半径是1，则圆面积就等于π，而正方形面积就等于4，即任意正方形与其内切圆的面积之比都是4：π。既然牟合方盖与其内切球体的任意截面积之比都是4：π，那么二者的体积之比也是4：π．

　　刘徽在这里用到了一个重要的截面原理：如果两个等高的立体，用平行于底面的平面截得的截面积之比为一定值，则这两个立体的体积之比也等于该定值。这个原理现在称为“刘徽原理”。因此，他把计算球体积的问题转化为计算牟合方盖体积的问题了。换句话说，只要求出牟合方盖的体积，就可得到球体积公式了。

　　尽管如此，可计算牟合方盖的体积也并非易事。刘徽绞尽脑汁也没有达到预期目的，他最后只好把上述结果详述在注解里，并希望后人看到这个问题，接着来完成他未竟的事业。

祖暅原理的提出

　　又过了200多年，我国南北朝时期的伟大科学家祖冲之的儿子祖暅接着研究这个问题。虽然祖暅仍循着刘徽的思路，设法解决牟合方盖的体积问题，但其方法独特而新颖，从而巧妙地求出球体体积。

　　祖暅作了一个边长为2R且外切于牟合方盖的正方体，该正方体的体积是8R3，他想，只要算出正方体和牟合方盖的体积之差就可获得牟合方盖的体积，祖暅说：“幂势既同，则积不容异”。意思是说，既然两个立体的截面积处处相同，则其体积不可能相异。

　　祖暅上面的那段原话，就是现在中学课本里所说的“祖暅原理”：用平行于底面的平面去截两个等高的立体，如果所得的两个截面积处处相等，则这两个立体的体积就相等。这条原理实际上是刘徽原理的一个特例，即当刘徽原理中的定值为1的时候，就得到了祖暅原理的结论。这个原理就是立体几何中的截面原理，虽然在中国它是推导球体积公式的一个副产品，但是它的结论比球体积公式更为重要。

立体截面原理在国外

　　虽然阿基米德最早推出球体积公式，但由于他采用的方法与中国古人的方法有所不同，因此他并没有发现立体的截面原理。 　　立体的截面原理在国外被称作“卡瓦列里原理”，因为该原理在欧洲最早是由意大利数学家卡瓦列里发现的。卡瓦列里是著名科学家伽里略的学生，他在老师的影响下考察一些复杂图形的面积和体积问题。他认为，面积就像布一样是由一条一条的线织成的，体积就像书一样是由一张一张的纸组成的。他在1635年出版的《连续不可分几何》中给出了立体截面原理，其内容与“刘徽原理”完全一样，但比刘徽要晚1300多年。

　　立体截面原理揭示了立体体积之间的一个十分重要的关系，用它不仅可以巧妙的导出球的体积公式，而且在一般意义上，它是解决立体体积问题的基础，像高中数学中，有关棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台等几何体的体积公式，都是建立在立体截面原理这一基本规律之上的。而球的体积公式给人们带来的方便，更是不言而喻。只要是符合球体形状，大到星球，小到原子，都可以运用公式很容易地计算出它的体积，这在数学以外的工业、农业、天文等各个行业及科学技术中运用也是屡见不鲜。