数学美的简洁性- -
?数学简化了思维过程并使之更可靠。（弗赖伊T.C.Fry）
?算学中所谓美的问题，是指一个难以解决的问题；而所谓美的解答，则是指对于困难和复杂问题的简单回答。(狄德罗D.Diderot)
?在数学里美的各个属性中，首先要推崇的大概是简单性了。（莫德尔L.J.Mordell）
1． 符号美
?数学符号节省了人们的思维。(莱布尼兹)
?符号常常比发明它们的数学家更能推理。(克莱茵F.Klein)
?数学也是一种语言，且是现存的结构与内容方面最完美的语言……可以说，自然用这个语言讲话；造世主已用它说过话，而世界的保护者继续用它讲话。（戴尔曼C.Dillmann）
?数学语言是困难的，但又是永恒的。（纽曼M.H.A.Newman）
２．抽象美
?就其本质而质而言，数学是抽象的；实际上它的抽象比逻辑的抽象更高一阶。（克里斯塔尔Ｇ.Chrystal）
?数学家因为对发现的纯粹爱好和其对脑力劳动产品的美的欣赏，创造了抽象和理想化的真理。（卡迈查尔R.D.Carmicheal）
?自然几乎不可能不对数学推理的美抱有偏爱。（杨格C.N.Yang）
?数学虽不研究事物的质，但作一事物必有量和形，这样两种事物如有相同的量和形，便可用相同的数学方法，因而数学必然也必须抽象。
?在数学的创造性工作中，抽象分析是一种常用的重要方法，这是基于数学本身的特点??抽象性。数学中不少新的概念、新的学科、新的分支的产生，是通过“抽象分析”得到的。
?数学的简捷性在很大的程度上是源自数学的抽象性，换句话说：数学概念正是从众多事物共同属性中抽象出来的，而在对日益扩展的数学知识总体进行简化、廓清和统一化时，抽象更是必有可少的。
３．统一美
?天得一以清；地得一以宁；万物得一以生。（中国古代道家语）
?数学科学是统一的一体，其组织的活力依赖于其各部分之间的联系。（希尔伯特）
?某些典型数学思维的美，实际上容易被人欣赏，例如一个干净利落的证明，比一个笨拙费力的证明要美，一个能代替许多特例的简明推广式更为从们所喜欢。（马尔道斯J.H.Mardoch）
?数学内部及外部的应用包含两个方面：一是数学作为科学方法的效力，一是数学作为科学所应用的统一与美。（罗伯特C.Robert）
?毕达哥拉斯认为宇宙统一于数；德谟克利特认为宇宙统一于原子；柏拉图认为宇宙统一于理念世界；中国古人认为宇宙通过阴阳五行统一于太一；笛卡尔认为宇宙统一于以太……
数学美的和谐性- -
·所谓“数学的和谐”不仅是宇宙的特点，原子的特点，也是生命的特点，人的特点。（高尔泰Gortai）
·数学构造了人类智慧的最壮丽的纪念碑。（汤姆森T.Thomson）
宇宙概念常常在哲学家脑子里被表现为和谐——因为宇宙是和谐的。庄子、比达哥拉斯、柏拉图等均把宇宙的和谐比拟为音乐的和谐，比拟为我们听不到的一首诗。德国天文学家开普勒甚至根据天体运行的规律把宇宙谱成一首诗。宇宙的和谐美是思维实践地转化为感觉、理性实践地转化为感性的结果。宇宙的整体，看不见、听不着，但感性动力仍然可以通过知识在宏观尺度上“直观地”把握它。
·数学是一门万用的并具有绝对真理的艺术。（凯塞尔C.J.Keyser）
１．和谐美
·我指的是本质的美，它来自自然各部分的和谐的秩序，并且纯智力能够领悟它。（庞加莱）
·数学的许多“艺术形式”是由精致的、“无噪声的”结果所组成。（哈明R.W.Hamming）
·美是和谐的，和谐性也是数学美的特征之一。和谐即雅致、严谨或形式结构的无矛盾性。
数学的和谐还表现为它能够为自然界的和谐、生命现象的和谐、人自身的和谐等找到最佳论证。（人和动物的血液循环系统中，血管不断地分成两个同样粗细的支管，它们的直径之比 ，依据流体力学原理由数学计算知道，这种比在分支导管系统中，使液流的能量消耗最少。血液中的红血球、白血球、血小板等平均占血液的４４％，同样由计算可知43.3%是液体流动时所携带固体的最大含量。眼球视网膜上的影像经过“复对数变换”而成为视觉皮层上的“平移对称”图像，于是我们看到的是一个不失真的世界，这是千真万确的数学变换，也是奥妙无穷的生命现象的优化。动物的头骨看上去似乎甚有差异，其实它们不过是同一结构在不同坐标系下的表现或写真，这是大自然自然选择和生物本身进行的必然结果。）
差不多任何动物的形状，都可以通过连续（拓朴）变换、变形、扭曲而成为另一种动物的形状。（苏格兰博物学家汤普森d’Arey W.Thompson）
一些植物的叶子有着明确的数学方程式!
事物的发展规律是“螺线式”的。螺线不仅是生命的曲线，也是生活的曲线！
生命的丰富多彩，数学的优雅美妙，一旦二者揉合，必定会为人们认识生命现象提供启发，创造机会，揭示奥秘，同时也为数学自身的发展提供模式与课题。
宇宙是哲学的全书，要读懂它必须先掌握它的语言，这语言就是数学。和谐的宇宙，只能使用和谐的语言。
?对称美是一个广阔的主题，在艺术和自然两方面都意义重大。数学则是它根本。美和对称紧密相连。（外尔H.Weyl）
?虽然数学没有明显地提到善和美，但善和美也不能和数学完全分离。因为美的主要形式就是秩序、匀称和确定性，这些正是数学所研究的原则。（亚里士多德Aristotle）
?在数学中，对称的概念略有拓广（常把某些具有关联或对立的概念视为对称），这样对称美便成了数学美中的一个重要组成部分，同时也为人们研究数学提供了某些启示。
?“对称”实在是一件不容易发生的事，因为自然界的现象，人类觉得它有对称，一方面是很自然的，一方面以要追求它的准确性。自然是否呈现“对称”曾被历史上的哲学家们长期地争论过。（杨振宁）
?对称的概念源于数学（更确切地讲是欧几里得几何）。对称在天文学（甚至自然界）上的研究，则始于两千多年前的古希腊人。古希腊人十分留意各种“对称”现象，以至他们竟创立了一种学说，认为世界一切规律都是从对称来的，他们觉得最对称的东西是圆，所以他们把天文学中的天体的运行轨道画成圆，后来圆上加圆，这一来就发展为希腊后来的天文学。
?自然似乎巧妙地利用了对称规律的简单的数学表示，数学推理的内在的优美和出色的完善，以及由此而来的用数学推理去揭示物理学理论的复杂性和深度，是鼓舞物理学家的丰富源泉，人们期望自然界具有人们所希望的规律性。
?“对称”在数学上的表现是普遍的：轴对称、中心对称、对称多项式等，从奇偶性上或可分解性上区分数也可以视为对称，从运算关系角度看互逆运算也可看为对称关系，“共轭”概念也蕴含着“对称”性，“对偶”关系也可视为“对称”的一种形式。自然对数的产生也是因为受到常用对数的真数与对数的增长不对称（匀称）性的启发而产生的。
?笛沙格（Desargues）定理和它的对偶情形（1825年，葛尔刚J.D.Gergonne）
笛沙格（Desargues）定理
笛沙格（Desargues）定理的对偶
如果两个三角形，连接其对应顶点的直线过同一点，则对应边相交的三个点在同一直线上。
如果两个三角形，连接其对应顶边的点在同一条直线上，则其对应顶点的三条连线过同一点。
帕斯卡（Pascal）定理及其对偶化（施坦纳J.Steiner）
帕斯卡（Pascal）定理
帕斯卡（Pascal）定理的对偶
在点圆锥曲线上取六个点A、B、C、D、E、F，若A、B连线与D、E连线交于一点P，B、C连线与E、F连线交于一点Q，C、D连线与F、A连线交于一点R，则P、Q、R三点在同一直线l上。
在线圆锥曲线上取六条直线a、b、c、d、e、f，若a、b交点与d、e交点连线为p，b、c交点与e、f交点连线为q，c、d交点与f、a交点连线为r，则p、q、r三线过同一点L。
?对称是数学们长期追求的目标，甚至有时把它作为一种尺度。数学中不少概念与运算，都是由人们对于“对称”问题的探讨派生出来的。数学中的对称美除了作为数学自身的属性外，也可以看成启迪人们思维、研究问题的方法。
?在其它科学领域很多科学家也是因为坚信宇宙美具有对称性这一特点，作出了许多划时代意义的科学发现。在“五维空间”中存在着我们的宇宙和另外一个“隐藏”的宇宙（对称的宇宙），这个新理论是由美国普林斯顿大学、宾西法尼亚大学和英国剑桥大学的物理学家共同提出的，他们认为：我们的宇宙和一个“隐藏”的宇宙共同“镶嵌”在“五维空间”中，在我们的宇宙早期，这两个宇宙发生了一次碰撞，相撞产生的能量生成了我们宇宙中的物质和能量。
数学美的奇异性- -
◇没有一个极美的东西不是在匀称中有着某种奇特。美在于奇特而令人惊异。（培根R.Bacon）
◇逻辑是贫乏的，而数学是最多产的母亲。（阿诺尼姆斯Anonymous）
奇异指奇妙和变异。变异是指数学理论拓广或统一性遭到破坏后，产生新方法、新思想、新概念、新理论的起点。变异有悖于人们的想像与期望，因此就更引起人们的关注与好奇。数学中许多新分支的诞生都是人们对数学奇异性探讨的结果。
1．奇异美
◇在绘画与数学中，美有客观标准，画家讲究结构、线条、造型、肌理，而数学则讲究真实、正确、新奇、普遍……（哈尔莫斯P.R.Halmos）
◇审美趣味和数学趣味是一致或相同的。（贝尔E.T.Bell）
◇奇异中蕴含着奥妙与魅力，奇异中也隐藏着真理与规律。
“希尔伯特第三问题”、“平面铺嵌问题”、“欧拉公式”、“单纯形法”、“四色问题”、“货郎担问题”……
2．有限美
◇十进计数的发明恐怕是科学史上最重要的成就。（勒贝格H.Lebesgue）
科学需要一种能够简练地、合乎逻辑地表达的语言，这种语言便是数学。（哈尔芬E.Halhen）
◇自然的终极秘密是用一种我们还不能阅读的语言书写的，数学为这种原文提供了注释。（萨顿O.G.Sutton）
◇无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议——也许正因为“有限”才显得它“与众不同”。
美国哈佛大学数学家戴柯尼斯（Deknis）和哥伦比亚大学的数学家贝尔（Bell）发现：一副扑克洗7次才算最匀净。由数列计算得多于此数，过犹不及。
广告费用的投入与效果，首先它遵循经济活动中著名的S曲线所描述的规律，从曲线图上可以看出：投入费用在某一段时间时广告最为有效。据统计，广告刊播次数以6次左右为最佳。美国著名的广告学家克鲁曼（H.Kluman）曾给予明白的解释。
电子邮件的“六阶现象”：电子邮件平均辗转6个人之后均到达陌生收件人手中。
“项”与“个数”的最少问题。中国“七巧板”游戏。“迷宫”（道路有限，走法无穷）。
平面上的二次曲线有九种标准形状；空间二次曲线有17种不同类型；不定方程的有限整数解问题；费马数的分解问题；“3x+1猜想”……
3、神秘美
◇数学和诗歌都具有永恒的性质。（卡尔米采尔R.D.Carmichael）
◇哪里有数，哪里就有美。（普洛克鲁斯Proclus）
◇数学关注抽象，却闭口不谈时空宇宙。（萨顿O.G.Sutton）
◇数学中有许多新奇、巧妙而又神秘的东西吸引着人们，这是数学的趣味、魅力所在。它们“像甜蜜的笛声诱惑了如此众多的老鼠，跳进了数学的深河”（韦尔语）。
数学的诸类问题中，最显见、最简单、最令人感到神秘的莫过于数的性质了。人类社会中，数是一种最独特，但又最富有神秘性的语言。生产的计量、进步的评估、历史的编年、科学的构建、自然界的分类、人类的繁衍、生活的规划、学校的教育……无不与数有关。
“完全数”（在自然数中恰好等于自身的全部真因子之和的数，如6，28，496，8182等，且完全数的全部因子的倒数和都等于2。）
“亲和数对”（最有名的一对是220和284，也是最小的一对，是毕达哥拉斯2000多年前发现的。）
4．常数美
◇大哉言数.姬昌(周公)
◇整数的简单构成,若干世纪以来一直是使数学获得新生的源泉.(伯克霍夫G.D.Birkhoff)
◇上帝创造了整数,其他一切都是人造的.(克罗内克尔L.Kronecker)
数学中的某些常数，有着特殊的魅力(因而也蕴含着美)，比如黄金数0.618，斐波那契数，圆周率，化学中的阿伏加德罗（A.Avogadro）常数，万有引力耦合常数……
数学美之美的扭曲- -
◇数学并不应当纯粹建立在无矛盾性这一点上。（布尔巴基）
◇不美的数学是不允许继续存在的。（柯尔松K.A.Coulso）
◇美并不等于完善。（康德）
三种（严格地讲是九种）几何的建立，也正是人们追求数学完美（或修补数学缺憾）的产物，这也是人们对数学美的另一种扭曲与偏离。
半径不同的五个球放在桌面上，通常人们会认为规则的摆放更合乎人们的审美情结，但不规则的摆放所占据的桌面长度却是最小！在给定圆的内接四边形中，以内接正方形的面积为最大。但是若加以推广，结论便不成立了——内接于球的六面体中，体积最大的不是正六面体（正方体），1963年借助于计算机人们找到一种内接于球的六面体，它的同一顶点的三条棱不等长（形式上不美），但它的体积却比内接该球的正方体大12%左右。令人不解的是：对于正多面体来讲，除正六面体外，其它四种：正四面体、正八面体、正十二面体、正二十面体分别是球的内接最大体积的正多面体！
“光行最速原理”，“局部最优≠整体最优”，“贪小失大”，物体沿着下凹的旋轮线下滑运动所需时间最少，“最短路线问题”——平面上给定n个点，通过增加斯坦纳点的最小树长（最短线路）最我可比原来不增加新点时的最小树长13.4%。（1990年我国数学家堵丁柱和旅美学者黄光明博士证明了更一般的情形：去掉了平面的限制。）
麦比乌斯带，克莱因瓶。
缺憾带来希望，有希望才有追求，有追求才有创生。
数学美学研究的意义- -
◇任何科学领域都有关存在，只要你用心挖掘到它的美，你就有可能攀登科学顶峰。自然现象在结构是非常之美、非常之妙的，而物理学这些年的研究使我们对这种美有了认识。物理的美是由表层到深层的灵魂美、宗教美直至达到最终极的美。（杨振宁）
◇数学的无穷无尽的诱人这处在于，它里面最棘手的悖论也能盛开出美丽的理论之花。（戴维P.J.Davis）
◇数学是创造性艺术，因为数学创造了美好的新概念，数学家们像艺术家们一样地生活，一样的工作，一样的思索。（哈尔莫斯P.R.Halmos）
◇数学具体体现了人类知识的精华，它影响着人类活动的每一个领域，它的进展与所有科学领域的发现都紧密相关。它的研究、应用、传播与交流，关系到世界的发展与繁荣，关系到从类的生存与进步。（克莱L.T.Clay）
◇数学的目的是帮助人们去解释自然。（傅里叶）
◇数学的目的是为人类的理性增光。（雅谷比C.Jacobi）
◇我的许多发都得益于对数学美的追求。如果一个物理方程在数学上看上去不美，那么这个方程的正确性是可疑的。（狄拉克：1927年研究电子波动方程始初，完全是出于数学形式美的动机。1931年从数学对称美的考虑，大胆提出反物质假说——真空中的反电子就是正电子，1932年安德逊C.D.Anderson在宇宙射线中发现了正电子。）
理论科学家在探索理论时，就不得不愈来愈从纯粹数学的形式考虑——因为实验家的物理实验不能把它提高到最抽象的领域中去。数学与物理密不可分，因而数学美有时就成为衡量物理理论美学价值大小的一个重要标志。
数学的发展是人们对于数学美追求的结晶。
对于数学美的探讨，可启迪人们的思维，开阔人们的视野，激发人们的热情，同时又可喻示数学发展前景，指明人们的研究方向和方法……
对于数学乃至其它学科里与数学有关的表达中奇异现象的探讨，当奇异现象产生的原因搞清以后，不仅解开了现象背后的谜团，而且促进了数学本身的发展。
利用宇宙的和谐，从数学反映的不和谐去发现新的东西，说明数学美的价值。利用数学中的不谐调，还可以帮助人们去寻求导致不谐调的思维。
数学科学是一个统一的整体，其组织活力来自各分类分支间的联系，构成数学进展的内容和标准是：方法的简化，失效旧程序的废止，新理论或分支的诞生，以及以往相异领域的统一。
