《隋书·律历志》

    中国古代数学成就辉煌，是最早创造十进位制的国家，也是通过阴阳八卦最早提出二进位制观念的国家，这是两项影响了历史进程和现代生活的伟大创造。西汉或早于西汉的、由赵爽注的《周髀算经》对勾股定理的论证大约和希腊的毕达哥拉斯(Pythagoras)的论证同时代，又是互无联系、各自发明的。三国时伟大的数学家刘徽的《九章算术注》创造了求多面体体积的关键性理论——刘徽原理，用无穷小分割和极限思想证明了圆面积公式，并创造了求圆周率近似值的科学程序，计算了正192边形的面积，求出圆周率的近似值为3.14，用分数表示为157/50和3927/1250。

刘徽“割圆术”示意图

    在刘徽和其他数学家创造性劳动、探索的基础上，另一位伟大数学家祖冲之（429—500）应运而生了。祖冲之生于南朝的一个士大夫家庭，自幼勤奋好学，勇于创新，勤于实践，25岁入华林学省从事学术研究，后来在一位高官手下任公府参军，得以有充分时间进行科学研究，在天文、历法、数学和机械制造等方面都取得了重大成就。祖冲之和儿子祖的数学成就都集中在他们的数学著作《缀术》中，这部著作，被列为“算经十书”之中，是唐朝学生和朝鲜、日本学生的算学课本，可惜已经失传。现在所知的祖冲之的数学成就都是其他著作中留下的残缺不全的记载，主要集中在圆周率、球体积和开带从立方三个方面。

祖冲之像

    在圆周率近似值的计算方面，古希腊一直是走在中国前面的。公元前5世纪，当希腊数学家算得圆周率为3.1416时，中国还停留在“周三径一”的古率阶段，并一直沿用到汉代。西汉刘歆算得3.141547或3.14166，有效数字为3.1，东汉张衡得到92/29和10的平方根这两个表达方式。刘徽算出圆周率为3.14，但是祖冲之不满足于刘徽这个成果，他通过刘徽的割圆术，从正六边形出发，直到计算出正6乘2的12次方边形的面积。他用更开密法，进一步算出了圆周率大于3.1415926小于3.1415927的结果。得到这样的结果，要对这样一个九位数字进行不下130次的包括开方在内的运算，这需要何等的毅力、决心和精力！这在当时是一项了不起的成就，他不但把刘徽的数值精度提高了上百倍，而且运用了“盈二限”的方法给出了一个无理数值的变化范围，是一个无理数表示的基本方法，这种方法，除了希腊大数学家阿基米德之外，运用得最好的就是祖冲之了。祖冲之得出了两个表达圆周率的分数，一个是22/7，一个是355/113，前者称为约率，后者称为密率。密率是一个很好的近似值，有人做过计算，如果用它来计算半径为10公里的圆面积，误差不会超过几毫米。祖冲之对圆周率的求索，超过了世界水平整整1000年！直到16世纪德国人V·奥托和荷兰人A·安托尼斯才发现了圆周率的密率355/113，并被称为“安托尼斯率”。1913年日本数学史家三上一夫建议将祖冲之圆周率的密率数值命名为“祖率”，得到一致赞同。

刘徽《九章算术注》书影

　　求算圆周率的值是数学中一个非常重要也是非常困难的研究课题。中国古代许多数学家都致力于圆周率的计算，而公元5世纪祖冲之所取得的成就可以说是圆周率计算的一个跃进。祖冲之经过刻苦钻研，继承和发展了前辈科学家的优秀成果。他对于圆周率的研究，就是他对于我国乃至世界的一个突出贡献。祖冲之对圆周率数值的精确推算值，用他的名字被命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”。

　　什么是圆周率呢？圆有它的圆周和圆心，从圆周任意一点到圆心的距离称为半径，半径加倍就是直径。直径是一条经过圆心的线段，圆周是一条弧线，弧线是直线的多少倍，在数学上叫做圆周率。简单说，圆周率就是圆的周长与它直径之间的比，它是一个常数，用希腊字母“π”来表示，为算式355÷113所得。在天文历法方面和生产实践当中，凡是牵涉到圆的一切问题，都要使用圆周率来推算。

　　如何正确地推求圆周率的数值，是世界数学史上的一个重要课题。我国古代数学家们对这个问题十分重视，研究也很早。在《周髀算经》和《九章算术》中就提出径一周三的古率，定圆周率为三，即圆周长是直径长的三倍。此后，经过历代数学家的相继探索，推算出的圆周率数值日益精确。西汉末年刘歆在为王莽设计制作圆形铜斛（一种量器）的过程中，发现直径为一、圆周为三的古率过于粗略，经过进一步的推算，求得圆周率的数值为3.1547。东汉著名科学家张衡推算出的圆周率值为3.162。三国时，数学家王蕃推算出的圆周率数值为3.155。魏晋之际的著名数学家刘徽在为《九章算术》作注时创立了新的推算圆周率的方法——割圆术。他设圆的半径为1，把圆周六等分，作圆的内接正六边形，用勾股定理求出这个内接正六边形的周长；然后依次作内接十二边形，二十四边形……，至圆内接一百九十二边形时，得出它的边长和为6.282048，而圆内接正多边形的边数越多，它的边长就越接近圆的实际周长，所以此时圆周率的值为边长除以2，其近似值为3.14；并且说明这个数值比圆周率实际数值要小一些。在割圆术中，刘徽已经认识到了现代数学中的极限概念。他所创立的割圆术，是探求圆周率数值的过程中的重大突破。后人为纪念刘徽的这一功绩，把他求得的圆周率数值称为“徽率”或称“徽术”。

　　刘徽以后，探求圆周率有成就的学者，先后有南朝时代的何承天，皮延宗等人。何承天求得的圆周率数值为3.1428；皮延宗求出圆周率值为22／7≈3.14。以上的科学家都为圆周率的研究推算做出了很大贡献，可是和祖冲之的圆周率比较起来，就逊色多了。

　　祖冲之认为自秦汉以至魏晋的数百年中研究圆周率成绩最大的学者是刘徽，但并未达到精确的程度，于是他进一步精益钻研，去探求更精确的数值。它研究和计算的结果，证明圆周率应该在3.1415926和3.1415927之间。他成为世界上第一个把圆周率的准确数值计算到小数点以后七位数字的人。直到一千年后，这个记录才被阿拉伯数学家阿尔·卡西和法国数学家维叶特所打破。祖冲之提出的“密率”，也是直到一千年以后，才由德国 称之为“安托尼兹率”，还有别有用心的人说祖冲之圆周率是在明朝末年西方数学传入中国后伪造的。这是有意的捏造。记载祖冲之对圆周率研究情况的古籍是成书于唐代的史书《隋书》，而现传的《隋书》有元朝大德丙午年（公元1306年）的刊本，其中就有和其他现传版本一样的关于祖冲之圆周率的记载，事在明朝末年前三百余年。而且还有不少明朝之前的数学家在自己的著作中引用过祖冲之的圆周率，这些事实都证明了祖冲之在圆周率研究方面卓越的成就。

　　那么，祖冲之是如何取得这样重大的科学成就呢？可以肯定，他的成就是建立在前人研究的基础之上的。从当时的数学水平来看，祖冲之很可能是继承了刘徽所创立和首先使用的割圆术，并且加以发展，因此获得了超越前人的重大成就。在前面，我们提到割圆术时已经知道了这样的结论：圆内接正n边形的边数越多，各边长的总和就越接近圆周的实际长度。但因为它是内接的，又不可能把边数增加到无限多，所以边长总和永远小于圆周。

　　祖冲之按照刘徽的割圆术之法，设了一个直径为一丈的圆，在圆内切割计算。当他切割到圆的内接一百九十二边形时，得到了“徽率”的数值。但他没有满足，继续切割，作了三百八十四边形、七百六十八边形……一直切割到二万四千五百七十六边形，依次求出每个内接正多边形的边长。最后求得直径为一丈的圆，它的圆周长度在三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽到三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽之间，上面的那些长度单位我们现在已不再通用，但换句话说：如果圆的直径为1，那么圆周小于3.1415927、大大不到千万分之一，它们的提出，大大方便了计算和实际应用。

　　要作出这样精密的计算，是一项极为细致而艰巨的脑力劳动。我们知道，在祖冲之那个时代，算盘还未出现，人们普遍使用的计算工具叫算筹，它是一根根几寸长的方形或扁形的小棍子，有竹、木、铁、玉等各种材料制成。通过对算筹的不同摆法，来表示各种数目，叫做筹算法。如果计算数字的位数越多，所需要摆放的面积就越大。用算筹来计算不象用笔，笔算可以留在纸上，而筹算每计算完一次就得重新摆动以进行新的计算；只能用笔记下计算结果，而无法得到较为直观的图形与算式。因此只要一有差错，比如算筹被碰偏了或者计算中出现了错误，就只能从头开始。要求得祖冲之圆周率的数值，就需要对九位有效数字的小数进行加、减、乘、除和开方运算等十多个步骤的计算，而每个步骤都要反复进行十几次，开方运算有50次，最后计算出的数字达到小数点后十六、七位。今天，即使用算盘和纸笔来完成这些计算，也不是一件轻而易举的事。让我们想一想，在一千五百多年前的南朝时代，一位中年人在昏暗的油灯下，手中不停地算呀、记呀，还要经常地重新摆放数以万计的算筹，这是一件多么艰辛的事情，而且还需要日复一日地重复这种状态，一个人要是没有极大的毅力，是绝对完不成这项工作的。

　　这一光辉成就，也充分反映了我国古代数学高度发展的水平。祖冲之，不仅受到中国人民的敬仰，同时也受到世界各国科学界人士的推崇。1960年，苏联科学家们在研究了月球背面的照片以后，用世界上一些最有贡献的科学家的名字，来命名那上面的山谷，其中有一座环形山被命名为“祖冲之环形山”。

　　祖冲之在圆周率方面的研究，有着积极的现实意义，适应了当时生产实践的需要。他亲自研究过度量衡，并用最新的圆周率成果修正古代的量器容积的计算。

　　古代有一种量器叫做“釜”，一般的是一尺深，外形呈圆柱状，那这种量器的容积有多大呢？要想求出这个数值，就要用到圆周率。祖冲之利用他的研究，求出了精确的数值。他还重新计算了汉朝刘歆所造的“律嘉量”（另一种量器，与上面提到的 都是类似于现在我们所用的“升”等量器，但它们都是圆柱体。），由于刘歆所用的计算方法和圆周率数值都不够准确，所以他所得到的容积值与实际数值有出入。祖冲之找到他的错误所在，利用“祖率”校正了数值。为人们的日常生活提供了方便。

　　以后，人们制造量器时就采用了祖冲之的“祖率”数值。祖冲之在前人的基础上，经过刻苦钻研，反复演算，将圆周率推算至小数点后7位数，并得出了圆周率分数形式的近似值。祖冲之究竟用什么方法得出这一结果，现在无从查考；如果设想他按刘徽的“割圆术”方法去求的话，就要计算到圆内接16000多边形，这需要花费多少时间和付出多么巨大的劳动啊！

　　据《隋书·律历志》记载，祖冲之以一忽（一丈的一亿分之一）为单位，求直径为一丈的圆的周长，求得盈数为3.1415927、肭数为3.1415926，圆周率的真值介于盈肭两数之间。《隋书》没有具体说明祖冲之是用什么方法计算出盈肭两数的。一般认为，祖冲之采用的是刘徽的割圆术，但也有别的多种猜测。这两个近似值准确到小数第7位，是当时世界上最先进的成就。直到一千多年以后，15世纪阿拉伯数学家卡西和16世纪法国数学家F.韦达才得到更精确的结果。祖冲之确定了π的两个渐近分数，约率22/7和密率355/113。其中密率355/113（≈3.1415929）西方直到16世纪才由德国人V.奥托发现。它是三个成对奇数113355再折两段组成，优美、规整、易记。为了纪念祖冲之的杰出贡献，有些外国数学史家把圆周率π的密率叫做“祖率”。

　　祖冲之在数学领域的成就，只是中国古代数学成就的一个方面。实际上，14世纪以前中国一直是世界上数学最为发达的国家之一。比如几何中的勾股定理，在中国早期的数学专著《周髀算经》（大约于公元前2世纪成书）中即有论述；成书于公元1世纪的另一本重要的数学专著《九章算术》，在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则；13世纪时，中国就已经有了十次方程的解法，而直到16世纪，欧洲才提出三次方程的解法。

　　【祖冲之与其儿子的贡献】

　　祖冲之还与他的儿子祖暅一起，用巧妙的方法解决了球体体积的计算。他们当时采用的一条原理是：“幂势既同，则积不容异。”意即：位于两平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等。在西方被称为“卡瓦列利原理”，但这是在祖冲之以后一千多年才由意大利数学家卡瓦列利（Cavalieri）发现的。为了纪念祖氏父子发现这一原理的重大贡献，数学上也称这一原理为“祖暅原理”。

　　祖暅原理也就是“等积原理”。它是由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之的儿子祖暅首先提出来的。祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。

　　祖冲之的儿子祖暅也是中国古代著名数学家。小时习学家传的学业，深入研究的十分精细，也有灵巧的心思。技艺达到神妙的境地，就是古代传说中的鲁班和倕（传说为舜时的巧匠）这样的巧匠也难以超过他。当他思考到深入之处时，雷霆之声也难以入耳。曾经在走路时遇到仆射徐勉，头竟撞到了徐勉身上，徐勉呼叫他才觉察到他的存在。他的父亲所改定的何承天的历法当时尚未施行，梁武帝天监初年，祖暅之又重新加以修订，在这时才开始施行。职位至太舟卿。