赞2006年6月《中学数学杂志》专刊的一篇奇妙论文 (上)

——兼论用高中数学的数列理论, 就能证明歌德巴赫猜想(甲)成立

四川  大邑   鄢福荣(撰写)

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一. 发现数列的新家族及其性质.

圪今为止, 高中数学三年级教材, 尚有大的瑕疵,谈不上完美二字。首先就是无穷大与无穷小的定义就没有逃出悖论的魔掌, 长期被僵化着； 二是数列理念十分单调, 这两点就大大不利于过去和以后高等数学级数理论的教育与发展, 甚至于就种下了现代解析数论在一些很重要的关口, 不是发展了数论而是阻碍了基础数学的发展, 在某些方面还堕落为唯心论的工具；三是容斥原理不深入, 对于从对立面去发现问题, 功力不足。 这正是长期以来, 人们在初等数学中找不到证明歌德巴赫猜想(甲)的切入点的一个重要原因. 所以, 证明歌德巴赫猜想(甲) , 要先篼一个圈子, 从基础上去发现一类数列的新家族。2006年6月曲阜师范大学《中学数学杂志》专刊的一篇周明祥的奇妙论文《论用数学归纳法再认识一类递缩数列的性质》,就从这一发现开始, 把我们由沉舟侧畔引渡进了真正具有数学美的园林.

设无穷大“1”不是代表一个正方形, 而是代表一不定长度的直线上的等点数, 即等于

₁b≤₂b≤₃b≤…≤_i b共i个自然数的积.

设小于₁b的₁h、₂h、₃h、…、_ih共i个自然数作分子,对应着₁b、₂b、₃b、…、_i b 作分母,得i个序分数是₁h/₁b、₂h/₂b、₃h/₃b、…、_ih/ _ib , 用这i个序分数对“1”所含的直线上的等点进行如下之i次联合分割,就有

首次,从直线上分出₁h/₁b个点, 使直线上余点的个数是(1- ₁h/₁b)；次之, 又从余点(1-₁h/₁b)中分出₂h/₂b个点, 即得分出的点数是₂h/₂b(1-₁h/₁b),  使直线上余点的个数是(1-₁h/₁b)(1-₂h/₂b)；第3次, 又从余点(1-₁h/₁b)(1-₂h/₂b)中分出₃h/₃b个点,即得分出的点数是₃h/₃b(1-₁h/₁b)(1-₂h/₂b), 使直线上余点的个数是 (1-₁h/₁b)(1-₂h/₂b)(1-₃h/₃b),；…；当上述联合分割进行到i次时,就是从余点(1-₁h/₁b)(1-₂h/₂b)(1-₃h/₃b)…(1－_{i -1}h/ _{i -1}b)中,最后一次分出_ih/_ib个点, 即得分出的点数是_ih/ _ib(1-₁h/₁b)(1-₂h/₂b)…(1－_i-1h/_i-1b),使直线上余点的个数——我们名它是“止分数列”Ri=

… = .               (1)

针对命名Ri，我们又名上述各次分出的点是“联分数列”Ai,依次写出就表示Ai∈ 、

、 、…、 … = 。 (2)

由于首项就小于1, 故我们又名它是“有理分数递缩联分数列”Ai。与现有等比、等差数列相比较, 其第i项“联分数列”的代数意义是表示：第i项序分数乘i-1项之前诸项“联分数列”对“1”联合分割后的剩余,就得第i项“联分数列”是表示 。

据(1)(2)我们就有

定理1.“有理分数递缩联分数列”至n项求和, 得Sn与止分数列Rn, 对“1”互余为

1－ = .                       (3)

证. 当n=1时, 两边皆表1－₁h/₁b 而成立.假设n= k时等式成立,于等式两边同加

－_k+1h/_k+1b(1－₁h/₁b)…(1－_kh/_kb ), 得

1－[ ₁h/₁b  +…+ _kh/_kb(1－₁h/₁b)…(1－_k-1h/_k-1b )+ _k+1h/_k+1b(1－₁h/₁b)…(1－_kh/_kb) ]=

=(1－₁h/₁b)…(1－_kh/_kb ) — _k+1h/_k+1b(1－₁h/₁b)…(1－_kh/_kb ) = .      (4)

这就是说, n=k+1时等式也成立。定理得证。

二. 对号入座, 问题迎刃而解

我们称(3)(4)是“联分等式”。得到了它, 我们就可以很好地认识不少其它问题, 但我们先不去讨论与命题无关的内容, 还是把研究回到正题上来。掌握了“联分等式”, 我们就打开了奇合数分类分布比的表述大门. 即从容斥原理出发, 我们从奇合数分类分布比的这一面, 通过去求诸_iP首奇合数的分布比(“质分母联分数列”) Ai的和Si, 就找到了它的对立面：质数分布比, 就是“质分母联分数列”求和所得的止分数列Ri.——两个多世纪以来, 数学人苦苦要寻求的天大的秘密, 就隐藏在这里。兹择其最相关的内容细述如后。

定义1. 大于8的偶数2N, 都可表述为_iP²＜2N＜_i+1P²。名小于√2N 的i个质数₁P=3、₂P=5、…、_iP＜√2N, 是2N的前导质数iP。 名大于√2N 而小于2N的质数_i+1P、_{i+ 2}P、…, 是2N 的主体质数JP. 名以2N的前导质数iP的元素₁P、₂P、…、_iP为最小质因数的奇合数是iP首奇合数,名它们的集合是iP首奇合数集, 并简写为iPc。

此处iPc, 显然就是前述“联分数列”的子类,可名为单调“质分母联分数列”：

、 、 、…、 。          (5)

这样一来, 由定义就使我们知, 大于8的偶数2N, 其前的i个iP的元素是可数的,含的 iPc的项数i是可知的, 3至2N-1这N-1个奇数中i项iPc的分布比是可计算的,因而3至 2N-1这N-1个奇数中的2N 的主体质数JP分布比是可计算的. 由此也就种下与iPc有脉络关系的孪生质数主体“JP-JP=2”、“1+1”主体“JP+JP=2N”的分布,皆是可精确计算的.其办法亦很简单, 就是把“联分等式”(3)右边的“止分数列”Ri,据 iPc照葫芦画瓢写作

Ri = .                        (6)

就得到了一式五义的质数分布运算的比率表述公式。

由“联分等式”的性质知, (6)所表示的i项分数联乘,不论有多少项, 所表示的分布比皆大于0, 因而得(N-2∨1)×i`∏(1-1∨2/P)取整值≥1。由于我们所论的iPc, 同步有三种分布态势,可作五种意义解。故由(6),我们就可以一般性地证明“任意相邻二平方数间必有二质数”,“任意相邻二奇平方数间必有二列孪生质数”——这是新中国的数论开山宗师华罗庚在其名著《数论导引》中,最为引恨的缺失感概,现在我们可以安慰他的在天之灵了；最主要是由(6),我们就可以表述出与偶数相关的三种iPc的同步分布态势：a. iPc在单独的3至2N-1的1条奇数集(含N-1个奇数)中的分布态势；b. iPc在同向的3至2N-1的2条个奇数集错一个数并列(含N-2对奇数列)中的分布态势；c. iPc在逆向的3至2N-3的2条个奇数集齐头并列(亦含N-2对奇数列)中的分布态势。从而就得到三个相关的质数分布定理为

定理1. 大于8的偶数2N, 其前的JP 的个数,可计算为(N-1)× .

定理2. 大于8的偶数2N, 其前的“JP-JP=2”的列数,可计算为(N-2)× .

定理3. 大于8的偶数2N, 其含的“JP+JP=2 N”的列数,可计算为(N-2)× .其中, 2N含_iP因数, 1∨2/_iP=1/_iP, 2N不含_iP因数, 2∨1/_iP=2/_iP.

注： 其实令₀P=1, 6、8含“JP+JP=2N ”分别为1、2列, 显然也在定理的公式计算中。

既然6、8以及大于8的每一个偶数2N, 其含的“JP+JP=2N ”的列数≥1, 据定理3都是可计算的,而且,取整的计算式 (N-2)×_i∏(1-2∨1/P)的系数(N-2),是进行性变大的, 使得(N-2)×_i∏(1-2∨1/P)的取整值≥1也随(N-2)变大而堆垒性变大, 就判定, 歌德巴赫猜想(甲)被确证成立。

三.判定潜无限成立的根据,是验证实有限是否有伪

20世纪有所谓从“9+9”到“1+2”的现代解析数论证明。说起来实在太荒唐, 连实有限成立的理论依据都没有, 仅据由统计结果而类比出的素数定理去作系数改进,推论出一些唯心的结论,就判定所谓“9+9”到“1+2”这一系列表述,当2N“充分大”时是潜无限真理. 所以,那些证明,没有一个能拿出一个充分大2N的计算与实迹的验证结果, 向大众数学人进行展示. 足见这些证明,通通是伪证. 然而,正是这些伪证及伪证的始作俑者同他们的卫道士, 弄权为祸, 践踏和阻碍了基础数学的发展,使全球数论界死一般的沉静已达40余年了. 作者相信, 周明祥的论证,起码可以推开上述腐尸,打破这40余年的僵局,通过用初等数学证明歌德巴赫猜想(甲)成立,为今后继续完善基础数学,起到抛砖引玉的作用.

    为了印证周明祥所获得的潜无限真理属真, 本文特摘录200至230这16个偶数的实有限验证于后,供网友参阅： 以其实有限真理无伪,从而判定别其潜无限真理属真.

附~~~~~~偶数200至230, 每个2N含三类质数堆垒增加量验证表
~~~~~~~~~~~~~2N含的质数~~~~~~~2N含的孪生质数~~~2N含的“1+1”质数
2N的值及~~~总个~~~公式计算~~~~总列~公式计算应得~总列~公式计算应得
因数表述数~~数~~应得j P个数~~~~数~~j P–j P=2列数~~数~~j P + j P=2N列数
200=8×5*5~~~45~38≈99×384/1001~~~15~10≈98×9/91~~~~~16~12≈98*4/21.9/13
202=2×101~~~45~38≈100×384/1001~~15~10≈99×9/91~~~~~17~11≈99×1//7.9/13
204=4×3*17~~45~39≈101×384/1001~~15~10≈100×9/91~~~~25~19≈100*2/7.9/13
206=2×103~~~45~39≈102×384/1001~~15~10≈101×9/91~~~~13~9≈101×9/91
208=16×13~~~45~40≈103×384/1001~~15~10≈102×9/91~~~~14~10≈102×1/7.9/13
210=2×15*7~~45~40≈104×384/1001~~15~10≈103×9/91~~~~38~32≈103*8/15.54/91
212=4×53`~~~46~40≈105×384/1001~~15~10≈104×9/91~~~~12~10≈104×9/91
214=2×107~~~46~41≈106×384/1001~~15~10≈105×9/91~~~~15~9≈105×9/91
216=8×3*9~~~46~41≈107×384/1001~~15~10≈106×9/91~~~~24~20≈106*18/91
218=2×109~~~46~41≈108×384/1001~~15~10≈107×9/91~~~~13~9≈107×9/91
220=4×5*11~~46~41≈109×384/1001~~15~10≈108×9/91~~~~18~16≈108*4/21.10/13
222=2×3*37~~46~41≈110×384/1001~~15~10≈109×9/91~~~~22~22≈109*18/91
224=32×7~~~~47~42≈111×384/1001~~15~10≈110×9/91~~~~16~12≈110×1/5.54/91
226=2×113~~~47~42≈112×384/1001~~15~10≈111×9/91~~~~13~11≈111×9/91
228=4×3*19~~48~43≈113×384/1001~~15~10≈112×9/91~~~~24~22≈112*18/91
230=2×5*23~~48~43≈114×384/1001~~16~11≈113×9/91~~~~18~14≈113*12/91

鉴别2N“1+1”主含量是堆垒增加的最佳方案, 是据偶数中的单纯有_iP因数的那些2N含

j P + j P=2N的列数是堆垒性增加的。例如单纯有3因数的偶数 含j P + j P=2N列数中,204含19列、216含20列、222含22列、228含22列、…；单纯有5因数的偶数 含j P + j P=2N列数中,200含12列、230含14列、…。

据上述理论计算与实迹分布完全吻合：2N进行性地变大,各种2N“1+1”主含量就堆垒性地增加。判定： 周明祥的论文, 不仅是理论证明成立, 而且经得着验证。

要知更详细的证明, 请参阅山东师范大学《中学数学杂志》2006年6月20日专刊的论文《论用数学归纳法再认识一类递缩数列的性质》.

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